เมนูนำทาง
ทฤษฎีระบบควบคุม
ระบบพลวัตส่วนใหญ่มักมีพฤติกรรมที่สามารถใช้สมการอนุพันธ์อันดับใด ๆ มาอธิบายได้ ในขณะเดียวกันสมการเชิงอนุพันธ์อันดับใด ๆ ก็สามารถลดอันดับให้เหลือเพียงสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ จากความจริงตรงนี้จึงได้มีการเสนอวิธีการใหม่ในการวิเคราะห์และควบคุมระบบ ซึ่งจะวิเคราะห์บนโดเมนเวลาและได้มีการนำแบบจำลองปริภูมิสถานะ (state space) มาใช้ซึ่งจะอยู่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งและแตกต่างจากระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่นิยมวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบบนโดเมนความถี่ นอกจากนี้การนำแบบจำลองปริภูมิสถานะมาใช้ทำให้เราสามารถสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับระบบแบบสัญญาณขาเข้าหลายทางสัญญาณขาออกหลายทาง (MIMO) ได้โดยการกำหนดมิติของตัวแปรในสมการปริภูมิสถานะอย่างเหมาะสม
กำหนดให้ระบบพลวัตมี p {\displaystyle p} สัญญาณขาเข้า q {\displaystyle q} สัญญาณขาออก และ n {\displaystyle n} ตัวแปรสถานะ
สมการปริภูมิสถานะคือ:
x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}โดยที่:
x ( ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {x} (\cdot )} คือ เวกเตอร์ของตัวแปรสถานะ (state vector) , x ( t ) ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}} ; y ( ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {y} (\cdot )} คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาออก (output vector) , y ( t ) ∈ R q {\displaystyle \mathbf {y} (t)\in \mathbb {R} ^{q}} ; u ( ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {u} (\cdot )} คือ เวกเตอร์ของสัญญาณขาเข้า หรือ เวกเตอร์ของสัญญาณควบคุม (input vector, control vector) , u ( t ) ∈ R p {\displaystyle \mathbf {u} (t)\in \mathbb {R} ^{p}} ; A ( ⋅ ) {\displaystyle A(\cdot )} คือ เมทริกซ์ของตัวแปรสถานะ หรือ เมทริกซ์พลวัต (state matrix, dynamics matrix) , dim [ A ( ⋅ ) ] = n × n {\displaystyle \operatorname {dim} [A(\cdot )]=n\times n} , B ( ⋅ ) {\displaystyle B(\cdot )} คือ เมทริกซ์ขาเข้า (input matrix) , dim [ B ( ⋅ ) ] = n × p {\displaystyle \operatorname {dim} [B(\cdot )]=n\times p} , C ( ⋅ ) {\displaystyle C(\cdot )} คือ เมทริกซ์ขาออก (output matrix) , dim [ C ( ⋅ ) ] = q × n {\displaystyle \operatorname {dim} [C(\cdot )]=q\times n} , D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} คือ เมทริกซ์ป้อนผ่าน (feedthrough (or feedforward) matrix) (ในกรณีที่ระบบไม่มีการป้อนสัญญาณขาเข้า, D ( ⋅ ) {\displaystyle D(\cdot )} เป็นเมทริกซ์ศูนย์), dim [ D ( ⋅ ) ] = q × p {\displaystyle \operatorname {dim} [D(\cdot )]=q\times p} , x ˙ ( t ) := d d t x ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\mathbf {x} (t)} .โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์ข้างต้นจะเป็นเมทริกซ์แปรผันตามเวลาได้ แต่ในกรณีเฉพาะที่ระบบไม่แปรผันตามเวลา (LTI) มักจะถูกนำมาศึกษาอยางแพร่หลายเพราะมีความซับซ้อนน้อยกว่าและเหมาะต่อการศึกษาในระดับพื้นฐาน นอกจากนี้ตัวแปรเวลาสามารถมีได้ทั้งแบบเวลาต่อเนื่อง (continuous time : t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } ) และแบบเวลาวิยุต (ไม่ต่อเนื่อง) (discrete time : t ∈ Z {\displaystyle t\in \mathbb {Z} } ) โดยในกรณีของเวลาไม่ต่อเนื่องมักนิยมใช้ตัวแปร k {\displaystyle k} นอกเหนื่อจากระบบแบบที่กล่าวมาแล้วยังมีระบบผสมซึ่งเป็นระบบที่มีโดเมนของเวลาอยู่ทั้งบนแกนเวลาต่อเนื่องและไม่ต่อเนื่อง
สมการปริภูมิสถานะ(state space equation)ข้างต้นหากพิจารณาตามโดเมนของเวลาจะมีรูปแบบต่าง ๆ กันดังต่อไปนี้ :
| ชนิดของระบบ | แบบจำลองสมการปริภูมิสถานะ |
| เวลาต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Continuous time-invariant) | x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)} |
| เวลาต่อเนื่องและเปลี่ยนแปรตามเวลา (Continuous time-variant) | x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)} |
| เวลาไม่ต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Explicit discrete time-invariant) | x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=A\mathbf {x} (k)+B\mathbf {u} (k)} y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) {\displaystyle \mathbf {y} (k)=C\mathbf {x} (k)+D\mathbf {u} (k)} |
| เวลาไม่ต่อเนื่องและเปลี่ยนแปรตามเวลา (Explicit discrete time-variant) | x ( k + 1 ) = A ( k ) x ( k ) + B ( k ) u ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)} y ( k ) = C ( k ) x ( k ) + D ( k ) u ( k ) {\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)} |
| โดเมนการแปลงการแปลงลาปลาส โดยที่เวลาต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Laplace domain of continuous time-invariant) | s X ( s ) = A X ( s ) + B U ( s ) {\displaystyle s\mathbf {X} (s)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)} Y ( s ) = C X ( s ) + D U ( s ) {\displaystyle \mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {U} (s)} |
| โดเมน Z โดยที่เวลาไม่ต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปรตามเวลา (Z-domain of discrete time-invariant) | z X ( z ) = A X ( z ) + B U ( z ) {\displaystyle z\mathbf {X} (z)=A\mathbf {X} (z)+B\mathbf {U} (z)} Y ( z ) = C X ( z ) + D U ( z ) {\displaystyle \mathbf {Y} (z)=C\mathbf {X} (z)+D\mathbf {U} (z)} |
สภาพควบคุมได้ (อังกฤษ: Controllability) จะบ่งบอกถึงความสามารถที่สัญญาณขาเข้าที่เป็นไปได้ (admissible inputs) จะสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะให้ไปถึงค่าใด ๆ ได้ในช่วงเวลาจำกัด (เวลาอันตะ) ไม่ว่าค่าเริ่มต้น (initial value) ของตัวแปรสถานะนั้น ๆ จะเป็นค่าอะไร ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้นเงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพควบคุมได้ ก็ต่อเมื่อ
rank [ B A B A 2 B . . . A n − 1 B ] = n {\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}B&AB&A^{2}B&...&A^{n-1}B\end{bmatrix}}=n}หมายเหตุ : ค่าลำดับขั้น (Rank) คือ ค่าซึ่งแสดงถึงจำนวนแถว (หรือหลัก) ในเมทริกซ์ที่มีความอิสระเชิงเส้น (linearly independent) ต่อกัน
สภาพสังเกตได้ (อังกฤษ: Observability) เป็นสภาพที่บ่งบอกว่าระบบพลวัตมีความสามารถที่จะส่งผ่านข้อมูลของตัวแปรสถานะได้ดีแค่ไหนเมื่อพิจารณาจากสัญญาณขาออก สภาพควบคุมได้ และ สภาพสังเกตได้ เป็นสภาพคู่กันทางคณิตศาสตร์ (Duality) กล่าวคือ ในขณะที่ สภาพควบคุมได้ หมายถึง สภาพที่แสดงออกว่าสัญญาณขาเข้าสามารถขับเคลื่อนตัวแปรสถานะไปที่ค่าใด ๆ ที่ต้องการได้ แต่ สภาพสังเกตได้ จะเป็นสภาพที่แสดงออกถึงสัญญาณขาออก (output trajectory) จะให้ข้อมูลเพียงพอต่อการคาดคะเนค่าเริ่มต้นของตัวแปรสถานะของระบบได้ในกรณีระบบพลวัตเชิงเส้นเวลาต่อเนื่องไม่แปรผันตามเวลานั้น เงื่อนไขที่จะทำให้มีสภาพสังเกตได้ได้ ก็ต่อเมื่อ
rank [ C C A . . . C A n − 1 ] = n {\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}C\\CA\\...\\CA^{n-1}\end{bmatrix}}=n}การแยกตัวประกอบคาลมาน (อังกฤษ: Kalman decomposition) เป็นกระบวนการแยกส่วนประกอบของเมทริกซ์ในสมการปริภูมิสถานะของระบบเชิงเส้นไม่เปลี่ยนตามเวลา linear time-invariant (LTI) ให้อยู่ในรูปแบบที่สามารถจำแนกได้ว่าส่วนใดในเมทริกซ์ของระบบ มีผลต่อ สภาพสังเกตได้ และสภาพควบคุมได้ ทำให้ง่ายต่อการวิเคราะห์คุณลักษณะของระบบ
จากสมการปริภูมิสถานะของระบบข้างต้น จะเห็นได้ว่าพารามิเตอร์ที่กำหนดลักษณะของระบบ LTI สามารถเขียนโดยย่อได้เป็นเวกเตอร์ ( A , B , C , D ) {\displaystyle \,(A,B,C,D)} ในที่นี้จะสมมุติว่าระบบมีมิติเป็น n {\displaystyle \,n} .
การแยกตัวประกอบคาลมาน ถูกนิยามว่า คือ การแปลงเวกเตอร์ ( A , B , C , D ) {\displaystyle \,(A,B,C,D)} ให้เป็น ( A ^ , B ^ , C ^ , D ^ ) {\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})} โดยคูณเมทริกซ์การแปลง T {\displaystyle \,T} ดังต่อไปนี้
A ^ = T − 1 A T {\displaystyle \,{\hat {A}}={T^{-1}}AT} B ^ = T − 1 B {\displaystyle \,{\hat {B}}={T^{-1}}B} C ^ = C T {\displaystyle \,{\hat {C}}=CT} D ^ = D {\displaystyle \,{\hat {D}}=D}โดยเมทริกซ์การแปลง T {\displaystyle \,T} มีมิติ n × n {\displaystyle \,n\times n} เป็นเมทริกซ์ผกผันได้ ถูกนิยามดังต่อไปนี้ ดังต่อไปนี้:
T = [ T r o ¯ T r o T r o ¯ T r ¯ o ] {\displaystyle \,T={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}โดยที่
จะเห็นได้ว่าโดยการสร้งเมทริกซ์ T {\displaystyle \,T} ในลักษณะข้างต้น เมทริกซ์ T {\displaystyle \,T} จึงผกผันได้ เป็นที่น่าสังเกตว่าเมทริกซ์ย่อยในเมทริกซ์ T {\displaystyle \,T} นั้นสามารถเป็นเมทริกซ์ศูนย์ได้ ยกตัวอย่างเช่น กรณีที่ระบบมีสภาพสังเกตได้และควบคุมได้ เมทริกซ์ T {\displaystyle \,T} ลดรูปเหลือ T = T r o {\displaystyle \,T=T_{ro}} โดยที่ เมทริกซ์ย่อยอื่นเป็นเมทริกซ์ศูนย์
ระบบที่ได้รับการแปลงแล้ว ( A ^ , B ^ , C ^ , D ^ ) {\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})} จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:
A ^ = [ A r o ¯ A 12 A 13 A 14 0 A r o 0 A 24 0 0 A r o ¯ A 34 0 0 0 A r ¯ o ] {\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}} B ^ = [ B r o ¯ B r o 0 0 ] {\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}} C ^ = [ 0 C r o 0 C r ¯ o ] {\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}} D ^ = D {\displaystyle \,{\hat {D}}=D}โดยที่
เมนูนำทาง
ทฤษฎีระบบควบคุมใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: ทฤษฎีระบบควบคุม