ทฤษฎีระบบควบคุมแบบดั้งเดิม ของ ทฤษฎีระบบควบคุม

ระบบควบคุมวงปิด

เนื่องจากระบบควบคุมแบบวงเปิดมีปัญหาด้านเสถียรภาพของระบบเพราะไม่มีการป้อนกลับของสัญญาณขาออก ซึ่งไม่เหมาะกับการใช้งานหลายอย่าง จึงมีความต้องการที่จะออกแบบระบบควบคุมที่สามารถตรวจจับความคลาด

เคลื่อนระหว่างสัญญาณขาออกและสัญญาณอ้างอิงได้ จึงได้มีการคิดค้นระบบควบคุมแบบป้อนกลับ (Feedback control systems) หรือระบบควบคุมแบบวงปิด (Closed loop control systems) ขึ้นมาเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาที่เกิด

ขึ้นกับระบบควบคุมแบบวงเปิด โดยมีโครงสร้างดังในรูป

หลักการควบคุมป้อนกลับ (Feedback control systems) เป็นหลักการพื้นฐานที่ใช้ในการควบคุมระบบพลวัตอย่างแพร่หลาย ในภาพเป็นการป้อนกลับแบบลบ (Negative feedback) เพราะสัญญาณจากเซนเซอร์ (Measured error) จะถูกนำไปหักล้างจากสัญญาณอ้างอิง (Reference input) เพื่อที่จะทำไปสร้างสัญญาณความคลาดเคลื่อน (Measured error) (ผลต่างระหว่างค่าที่ผู้ออกแบบต้องการและสัญญาณจากตัวตรวจจับ (Sensor) ) ซึ่งจะนำไปป้อนสู่ตัวควบคุม (Controller) และตัวควบคุมจะสร้างสัญญาณควบคุม (System input หรือ Control signal) ป้อนสู่ระบบพลวัต (Plant, Dynamic systems) หลังจากนั้นจะนำสัญญาณขาออกของระบบพลวัต (ที่วัดได้จากตัวตรวจจับ) มาป้อนสู่ระบบป้อนกลับต่อไปเช่นนี้เรื่อย ๆ

ระบบควบคุมแบบป้อนกลับมีความได้เปรียบเหนือกว่าระบบควบคุมแบบวงเปิด ดังต่อไปนี้

  • สามารถกำจัดการรบกวนได้ (อาทิ เช่น ผลจากแรงเสียดทานที่ไม่ได้รวมอยู่ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของระบบ)
  • สามารถรับประกันสมรรถนะได้มากขึ้นแม้กับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่มีตัวแปรที่มีความไม่แน่นอนอยู่ด้วย (อาทิ เช่น กรณีที่ผลจากการที่แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ไม่สามารถอธิบายระบบได้อย่างสมบรูณแบบ)
  • ระบบที่ไม่มีเสถียรภาพโดยธรรมชาติอยู่แล้วสามารถทำให้มีเสถียรภาพได้หากติดตั้งตัวควบคุมที่เหมาะสม
  • ระบบมีความคงทนต่อความเปลี่ยนแปลงมากขึ้นแม้ในกรณีที่พารามิเตอร์ของระบบมีการเปลี่ยนแปลง
  • ระบบสามารถปรับค่าสัญญาณขาออกตามสัญญาณอ้างอิงได้ดีมากขึ้นในปัญหาระบบปรับค่าตาม

ในบางระบบ ระบบควบคุมแบบวงปิดและวงเปิดจะใช้ควบคู่กัน โดยที่ในกรณีนี้ระบบวงเปิดจะเรียกว่า feedforward

ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิด

A simple feedback control loop

ฟังก์ชันส่งผ่าน (transfer function) คือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ใช้แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่างสัญญาณขาออก (output signal) ต่อสัญญาณขาเข้า (input signal)โดยฟังก์ชันส่งผ่านสามารถหาได้จากความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้สมมุติให้ ตัวควบคุม C {\displaystyle C} , ระบบพลวัต P {\displaystyle P} , ตัวตรวจจับ F {\displaystyle F} เป็นเชิงเส้น และ ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (ฟังก์ชันส่งผ่านของ C ( s ) {\displaystyle C(s)} , P ( s ) {\displaystyle P(s)} , and F ( s ) {\displaystyle F(s)} ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา) และในที่นี้เราจะพิจารณาผลการแปลงการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันส่งผ่านย่อย ๆ กล่าวคือ ฟังก์ชันส่งผ่านของ C ( s ) {\displaystyle C(s)} , P ( s ) {\displaystyle P(s)} , and F ( s ) {\displaystyle F(s)} ซึ่งการหาฟังก์ชันส่งผ่านหาได้ดังนี้

การแปลงโดเมนเวลาเป็นโดเมนความถี่โดยใช้การแปลงลาลาส ซึ่งสัญญาณขาออกในโดเมนเวลาจะเป็นการสังวัตนาการ (Convolution) ระหว่าง สัญญาณขาเข้าและผลตอบสนองอิมพัลส์ (impulse response) เมื่อผ่านการแปลงลาลาส จะได้สัญญาณขาออกในโดเมนความถี่ ที่จะอยู่ในรูปการคูณกันระหว่าง ผลการแปลงลาลาสของผลตอบสนองอิมพัลส์ (ฟังก์ชันส่งผ่าน) และผลการแปลงลาลาสของสัญญาณขาเข้า ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ง่ายลงไปได้มาก Y ( s ) = P ( s ) U ( s ) {\displaystyle Y(s)=P(s)U(s)\,\!} U ( s ) = C ( s ) E ( s ) {\displaystyle U(s)=C(s)E(s)\,\!} E ( s ) = R ( s ) − F ( s ) Y ( s ) . {\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y(s).\,\!}

แก้หา Y ( s ) {\displaystyle Y(s)} ในรูปของ R ( s ) {\displaystyle R(s)} จะได้ว่า:

Y ( s ) = ( P ( s ) C ( s ) 1 + F ( s ) P ( s ) C ( s ) ) R ( s ) = H ( s ) R ( s ) . {\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}\right)R(s)=H(s)R(s).}

โดยที่ H ( s ) = P ( s ) C ( s ) 1 + F ( s ) P ( s ) C ( s ) {\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}} เราจะเรียกว่า ฟังก์ชันส่งผ่านของระบบวงปิดของระบบ (closed-loop transfer function)

ตัวควบคุมพีไอดี

ระบบควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ (PID controller) เป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ซึ่งค่าที่นำไปใช้ในการคำนวณเป็นค่าความผิดพลาดที่หามาจากความแตกต่างของตัวแปรในกระบวนการและค่าที่ต้องการ ตัวควบคุมจะพยายามลดค่าผิดพลาดให้เหลือน้อยที่สุดด้วยการปรับค่าสัญญาณขาเข้าของกระบวนการ ค่าตัวแปรของ PID ที่ใช้จะปรับเปลี่ยนตามธรรมชาติของระบบ
ดูบทความหลักที่: ระบบควบคุมพีไอดี

ตัวควบคุมพีไอดี หรือ ตัวควบคุมแบบสัดส่วน-ปริพันธ์-อนุพันธ์ เป็นตัวควบคุมที่ได้รับความนิยมเป็นอย่างสูงและใช้งานอย่างแพร่หลาย โดยในปัจจุบันยังมีการใช้งานในแวดวงอุตสาหกรรม จนไปถึงยานอวกาศ ทั้งนี้เพราะเป็นตัวคบคุมที่มีใช้งานกันมานานและจนได้รับความไว้วางในแง่ของประสิทธิภาพ อีกทั้งแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของมันก็เรียบง่ายและง่ายต่อการนำไปติดตั้งตัวควบคุมพีไอดีมีแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

กำหนดให้ u ( t ) {\displaystyle u(t)} คือสัญญาณควบคุมที่จะส่งให้ตัวระบบ

และ y ( t ) {\displaystyle y(t)} คือสัญญาณขาออกที่ถูกวัดมาได้

และ r ( t ) {\displaystyle r(t)} คือสัญญาณอ้างอิง

สัญญาณความคลาดเคลื่อนคือ e ( t ) = r ( t ) − y ( t ) {\displaystyle e(t)=r(t)-y(t)} ดังนั้น

u ( t ) = K P e ( t ) + K I ∫ e ( t ) d t + K D d d t e ( t ) . {\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int e(t){\text{d}}t+K_{D}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}e(t).}

สมรรถนะและเสถียรถาพของระบบจะถูกกำหนดโดยการปรับแต่งค่าพารามิเตอร์สามตัว คือ K P {\displaystyle K_{P}} , K I {\displaystyle K_{I}} และ K D {\displaystyle K_{D}} นอกเหนือจากการปรับแต่งค่าเหล่านี้หลังจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของตัวระบบแล้ว ในทางปฏิบัติ ยังนิยมปรับแต่งค่าโดยใช้หลักการของ Ziegler–Nichols หรือใช้ประสบการณ์ของวิศวกร โดยที่เสถียรภาพของระบบมักขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ K P {\displaystyle K_{P}} แต่เพียงอย่างเดียว ส่วน K I {\displaystyle K_{I}} มักส่งผลในแง่ของความคงทนต่อการเปลี่ยนแปลงฉับพลันต่อตัวระบบ และ K D {\displaystyle K_{D}} มักเกี่ยวกับรูปร่างของผลตอบสนองเมื่อพิจารณาบนโดเมนการแปลงลาปลาส จะได้ว่า

u ( s ) = K P e ( s ) + K I 1 s e ( s ) + K D s e ( s ) {\displaystyle u(s)=K_{P}e(s)+K_{I}{\frac {1}{s}}e(s)+K_{D}se(s)} u ( s ) = ( K P + K I 1 s + K D s ) e ( s ) {\displaystyle u(s)=(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s)e(s)}

โดยจะเห็นได้ว่าฟังกชั่นส่งผ่านของตัวควบคุมพีไอดีคือ

C ( s ) = ( K P + K I 1 s + K D s ) . {\displaystyle C(s)=(K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+K_{D}s).}

แม้ระบบควบคุมแบบดั้งเดิมที่ใช้ตัวควบคุมพีไอดีจะมีความสามารถที่ถูกปรับปรุงดีขึ้นมากกว่าระบบควบคุมแบบเปิดมาก แต่ก็ยังเหมาะแค่กับระบบที่มีสัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output or SISO) และยังไม่สามารถใช้ควบคุมระบบที่มีความซับซ้อนสูงได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งระบบที่มีสัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output or MIMO)

แหล่งที่มา

WikiPedia: ทฤษฎีระบบควบคุม http://www.scsolutions.com/feedback.html http://www.cds.caltech.edu/~murray/books/AM08/pdf/... http://www.mne.ksu.edu/static/nlc/tiki-index.php?p... http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-... http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-... http://www.fang.ece.ufl.edu/mypaper/jmsec95fang.pd... http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend... http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalm... http://www-rcf.usc.edu/~ioannou/RobustAdaptiveBook... http://www.eeci-institute.eu/pdf/M010/Lecture_mjls...