เกมแบบไม่ร่วมมือ

เกมรูปแบบกลยุทธ์

เกมรูปแบบกลยุทธ์ (strategic-form game) หรือเกมรูปแบบปรกติ (normal-form game) ประกอบไปด้วยการระบุผู้เล่นภายในเกม ทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย เรียกในทางทฤษฎีเกมว่ากลยุทธ์ และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละฝ่าย

ในกรณีที่เกมมีผู้เล่นสองฝ่าย และแต่ละฝ่ายมีทางเลือกจำนวนจำกัด เกมนั้นสามารถเขียนออกมาได้ในรูปของตารางโดยให้แต่ละแถวในตารางหมายถึงทางเลือกของผู้เล่นฝ่ายหนึ่ง และแต่ละสดมภ์หมายถึงทางเลือกของผู้เล่นอีกฝ่ายหนึ่ง ช่องของตารางแต่ละช่องระบุอรรถประโยชน์ของผู้เล่นสองฝ่ายในแต่ละกรณี[10]:5 ดังตัวอย่างการนำเสนอเกมเป่ายิ้งฉุบในรูปแบบตารางนี้[5]:78

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนทางเลือกของผู้เล่นไม่จำเป็นต้องมีจำนวนจำกัด (ตัวอย่างกรณีที่ผู้เล่นมีทางเลือกไม่จำกัดคือ ผู้ขายสินค้าสามารถตั้งราคาขายสินค้าเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้) หากว่าทางเลือกของผู้เล่นทุกฝ่ายมีจำนวนจำกัด ทางเลือกในกรณีนี้จะเรียกว่าเป็นกลยุทธ์แท้ เกมกลยุทธ์แท้สามารถขยายให้ผู้เล่นสามารถเลือกกำหนดความน่าจะเป็นที่จะสุ่มเลือกทางเลือกแต่ละทาง เรียกว่ากลยุทธ์ผสม ตัวอย่างเข่น ในเกมเป่ายิ้งฉุบข้างต้น จอห์น ฟอน นอยมันน์ได้เขียนถึงการใช้กลยุทธ์ผสมว่า "สามัญสำนึกจะบอกได้ว่าวิธีที่ดีที่จะเล่นเกมนี้คือการเลือกทางเลือกทั้งสามทางด้วยความน่าจะเป็นแต่ละทางเท่ากับ 1/3"[11]:144

นิยามของเกมรูปแบบกลยุทธ์สามารถเขียนได้ว่า เกมรูปแบบกลยุทธ์ประกอบไปด้วย[5]:77

• เซตผู้เล่น N = { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle N=\{1,2,\dots ,n\}}
• เซตกลยุทธ์ S i {\displaystyle S_{i}} ของผู้เล่น i ∈ N {\displaystyle i\in N} แต่ละฝ่าย โดยให้ S {\displaystyle S} เป็นสัญลักษณ์หมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียน S 1 × S 2 × ⋯ × S n {\displaystyle S_{1}\times S_{2}\times \dots \times S_{n}}
• ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ u i : S → R {\displaystyle u_{i}\colon S\to \mathbb {R} } ที่กำหนดความสัมพันธ์จาก s = ( s 1 , s 2 , … , s n ) {\displaystyle s=(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})} ไปยังค่าอรรถประโยชน์ของผู้เล่น i ∈ N {\displaystyle i\in N} แต่ละฝ่าย ในที่นี้ s {\displaystyle s} เรียกว่าเป็นโพรไฟล์กลยุทธ์ (strategy profile)

ในกรณีที่ S i {\displaystyle S_{i}} เป็นเซตกลยุทธ์แท้ เซตกลยุทธ์ผสม Σ i {\displaystyle \Sigma _{i}} สามารถนิยามเป็นเซตของการแจกแจงความน่าจะเป็นของกลยุทธ์แท้ได้ว่า[5]:146

เกมรูปแบบขยาย

เกมรูปแบบขยาย (extensive-form game) เป็นรูปแบบการบรรยายลักษณะของเกมที่ระบุลำดับการตัดสินใจก่อนหลังของผู้เล่นแต่ละฝ่ายอย่างชัดเจน เกมรูปแบบขยายสามารถเขียนได้รูปของกราฟแบบต้นไม้ที่จุดยอดแต่ละจุด (ยกเว้นจุดยอดปลายทาง) ระบุว่าผู้เล่นฝ่ายใดตัดสินใจ และจุดปลายทางระบุว่าผู้เล่นแต่ละฝ่ายได้รับอรรถประโยชน์เท่าใด[12] อาจกล่าวได้ว่าเกมรูปแบบขยาย มีลักษณะเหมือนต้นไม้ตัดสินใจที่มีผู้ตัดสินใจหลายฝ่าย[10]:67

เกมในรูปแบบขยายสามารถใช้บรรยายสถานการณ์ที่ผู้เล่นไม่ทราบอย่างครบถ้วนว่าการตัดสินใจต่างๆ ในจุดก่อนหน้าเป็นอย่างไร โดยการแบ่งจุดตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นแต่ละฝ่ายออกเป็นเซตสารสนเทศ หากว่าเซตสารสนเทศมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งจุด หมายความว่าหากเกมดำเนินไปถึงจุดใดจุดหนึ่งในเซตนั้น ผู้เล่นรายนั้นจะไม่ทราบแน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด ทุกจุดตัดสินใจในเซตสารสนเทศเดียวกันจะมีทางเลือกแบบเดียวกัน เกมที่ผู้เล่นรู้แน่ชัดว่ากำลังตัดสินใจที่จุดใด เรียกว่าเกมที่มีสารสนเทศสมบูรณ์ (perfect information) ซึ่งหมายความว่าเซตสารสนเทศทุกเซตจะมีสมาชิกเพียงจุดยอดเดียว[5]:55

• เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศสมบูรณ์
• เกมในรูปแบบขยายที่สารสนเทศไม่สมบูรณ์ เส้นประหมายความว่าจุดยอดสองจุดอยู่ในเซตสารสนเทศเดียวกัน

เกมรูปแบบขยายยังสามารถใช้ระบุสถานการณ์ที่มีปัจจัยภายนอกที่มีลักษณะของความเสี่ยงหรือการสุ่มด้วย (เช่น การทอยลูกเต๋า) โดยใช้วิธีการกำหนดจุดยอดบางจุดว่าเป็นของผู้เล่นที่เรียกว่า "ธรรมชาติ" ทางเลือกจากจุดของธรรมชาติคือความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้นในสถานการณ์นั้น และกำหนดความน่าจะเป็นที่แต่ละทางจะเกิดขึ้น[5]:50

โดยสรุปแล้ว การนิยามเกมรูปแบบขยาย ประกอบไปด้วย[10]:77

• เซตผู้เล่น
• ลำดับการตัดสินใจ
• ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ซึ่งขึ้นกับการตัดสินใจทั้งหมดของผู้เล่นทุกฝ่าย
• ทางเลือกของผู้เล่นในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
• สิ่งที่ผู้เล่นทราบในแต่ละจุดที่ตัดสินใจ
• การแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ภายนอกที่มีลักษณะสุ่ม

เกมในรูปแบบขยาย สามารถเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ โดยนิยามทางเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่ายให้ครอบคลุมทุกรูปแบบการตัดสินใจที่เป็นไปได้ การนิยามทางเลือกในรูปแบบนี้ เปรียบได้กับการที่ผู้เล่นตัดสินใจล่วงหน้าก่อนเริ่มเกมว่าจะตัดสินใจอย่างไรบ้างที่แต่ละจุดที่ต้องตัดสินใจ[10]:85 จากตัวอย่างแผนภาพต้นไม้เกมที่สารสนเทศสมบูรณ์ ผู้เล่น 2 มีจุดที่ต้องตัดสินใจสองจุด คือตัดสินใจหลังจากผู้เล่น 1 เลือก O และตัดสินใจว่าหลังจากผู้เล่น 1 เลือก F หากเขียนเป็นเกมแบบกลยุทธ์ ผู้เล่น 2 จะมีทางเลือกสี่ทาง คือ (Oo,Fo), (Oo,Ff), (Of,Fo) และ (Of, Ff) ซึ่งเขียนออกมาเป็นเกมรูปแบบกลยุทธ์ได้ตามตารางนี้

เกมแบบร่วมมือ

การนิยามทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ ไม่ได้นิยามในลักษณะทางเลือกในการตัดสินใจเลือกของผู้เล่นแต่ละฝ่าย แต่เป็นฟังก์ชันของกลุ่มผู้เล่น (coalition) โดยค่าของฟังก์ชันนั้นคือค่าอรรถประโยชน์หากว่าผู้เล่นในกลุ่มนั้นตกลงร่วมมือกัน การนิยามเกมในลักษณะของทฤษฎีเกมแบบร่วมมือเรียกโดยทั่วไปว่าเป็นเกมรูปแบบการจัดกลุ่ม (coalitional form) เกมลักษณะนี้แบ่งออกได้เป็นสองประเภทหลัก คือ เกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (transferable utility) และเกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ (non-transferable utility)

ในเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ การจับกลุ่มผู้เล่นแต่ละกลุ่มจะมีค่าอรรถประโยชน์ร่วมกันหนึ่งค่า ซึ่งสมาชิกในกลุ่มนั้นๆ จะแบ่งกันอย่างไรก็ได้ กล่าวคือ อรรถประโยชน์มีลักษณะที่ยกให้กันในอัตราส่วนคงที่ เกมในลักษณะนี้สามารถเปรียบได้ว่าอรรถประโยชน์มีลักษณะเหมือนมูลค่าที่เป็นเงินตรา[13] นิยามเกมที่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ ประกอบไปด้วย เซตผู้เล่น N {\displaystyle N} และฟังก์ชันจำนวนจริงที่ระบุค่า v ( S ) {\displaystyle v(S)} สำหรับทุกเซตย่อย S ⊆ N {\displaystyle S\subseteq N} โดยแต่ละเซตย่อย S {\displaystyle S} ที่ไม่เป็นเซตว่างนี้ เรียกว่าเป็นกลุ่มผู้เล่น โดยทั่วไปจะกำหนดให้ค่าของเซตว่าง v ( ∅ ) {\displaystyle v(\emptyset )} เท่ากับศูนย์

เกมที่ไม่มีการยกอรรถประโยชน์ให้กันได้ จะไม่สมมติว่าอรรถประโยชน์สามารถยกให้กันได้ในลักษณะหนึ่งต่อหนึ่ง โดยการนิยามเกมประเภทนี้จะระบุเซตของการแบ่งอรรถประโยชน์ที่เป็นไปได้ของแต่ละกลุ่มผู้เล่น S ⊆ N {\displaystyle S\subseteq N} เป็น V ( S ) ⊂ R S {\displaystyle V(S)\subset \mathbb {R} ^{S}} [13]