พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน ของ รูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

A r e a = 1 2 | A C × B D | {\displaystyle Area={\frac {1}{2}}|{AC}\times {BD}|}

ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

A r e a = 1 2 | x 1 y 2 − x 2 y 1 | {\displaystyle Area={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น [3]

A r e a = 1 2 p q ⋅ sin ⁡ θ {\displaystyle Area={\frac {1}{2}}pq\cdot \sin \theta }

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น 1 2 p q {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}pq} เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°

สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) [4] คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้

A r e a = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 2 a b c d [ 1 + cos ⁡ ( γ + λ ) ] = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d [ cos 2 ⁡ ( γ + λ 2 ) ] s = 1 2 ( a + b + c + d ) {\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(\gamma +\lambda )]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {\gamma +\lambda }{2}}\right)\right]}}\\s&={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)\\\end{aligned}}}

เมื่อ a, b, c, d คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°

อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)

A r e a = 1 2 b c ⋅ sin ⁡ γ + 1 2 a d ⋅ sin ⁡ λ {\displaystyle Area={\frac {1}{2}}bc\cdot \sin \gamma +{\frac {1}{2}}ad\cdot \sin \lambda }

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น

A r e a = 1 2 ( b c + a d ) sin ⁡ γ {\displaystyle Area={\frac {1}{2}}(bc+ad)\sin \gamma }

และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง a b ⋅ sin ⁡ γ {\displaystyle ab\cdot \sin \gamma }

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม [5]

A r e a = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 4 ( a c + b d + p q ) ( a c + b d − p q ) = 1 4 4 p 2 q 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 − d 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ p q = a c + b d {\displaystyle pq=ac+bd}

นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° [6]

A r e a = | tan ⁡ θ | 4 ⋅ | a 2 + c 2 − b 2 − d 2 | {\displaystyle Area={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|}

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น

A r e a = | tan ⁡ θ | 2 ⋅ | a 2 − b 2 | {\displaystyle Area={\frac {|\tan \theta |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|}

ใกล้เคียง

รูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว รูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปียะฮ์

แหล่งที่มา

WikiPedia: รูปสี่เหลี่ยม http://www.mathopenref.com/tetragon.html http://www.mathopenref.com/tocs/quadrilateraltoc.h... http://oldcomic.socksandpuppets.com/view.php?date=... http://mathworld.wolfram.com/Bretschneider'sFormul... http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html http://journals.cambridge.org/article_S00049727000... http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pe... http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pr... http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Qu... http://www.vias.org/comp_geometry/geom_quad_genera...