ปกติแล้วฐานของลอการิทึมที่ใช้กันอย่างกว้างขวางได้แก่ 10, e ≈ 2.71828… และ 2 เมื่อเราเขียนว่า "log" โดยไม่ปรากฏฐาน (b ที่หายไปจาก logb) ความหมายของฐานที่ใช้ขึ้นอยู่กับบริบทดังนี้

• ลอการิทึมธรรมชาติ (loge, ln, log, Ln) ในทางคณิตวิเคราะห์ สถิติศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ และบางแขนงวิชาของวิศวกรรมศาสตร์ เหตุผลเป็นเพราะว่า e ถูกพิจารณาว่าเป็นฐานที่ "ธรรมชาติ" สำหรับลอการิทึม ถึงแม้ว่าอาจจะมีตัวเลขมากหรือเป็นการบังคับ (เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นสิ่งที่สำคัญในแขนงวิชาที่ต้องต่อกรกับส่วนประกอบแบบวัฏจักร)
• ลอการิทึมสามัญ (log10, log, lg) ในหลายแขนงวิชาของวิศวกรรมศาสตร์ โดยเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับระดับกำลังหรืออัตราส่วนกำลังเช่นความดันเสียง และตารางลอการิทึมซึ่งใช้สำหรับการคำนวณด้วยมือ ใช้สำหรับการประมาณค่าเช่น 210 ≈ 103 นำไปสู่การประมาณค่า 3 เดซิเบลต่ออ็อกเทฟ อันเป็นผลมาจากการใช้ log10
• ลอการิทึมฐานสอง (log2, lg, lb, ld) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีสารสนเทศ การคำนวณทฤษฎีสารสนเทศใช้ log2 อันนำไปสู่หน่วยบิต (bit) ซึ่งเป็นความหมายแรกเริ่ม เทียบกับกับการคำนวณโดยใช้ loge อันนำไปสู่หน่วยแนต (nat) ซึ่งไม่ได้เป็นความหมายดั้งเดิม แม้ว่าหน่วยทั้งสองนี้จะมีฟังก์ชันเทียบเท่ากัน ต่างกันที่มาตราส่วนเท่านั้น
• ลอการิทึมไม่จำกัด (Log, [log ], log) ซึ่งฐานของมันไม่เกี่ยวเนื่องกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความซับซ้อนที่อธิบายเกี่ยวกับพฤติกรรมของขั้นตอนวิธีในสัญกรณ์โอใหญ่ ซึ่งใช้อธิบายลักษณะของขั้นตอนวิธีอาทิ "พฤติกรรมเชิงลอการิทึม" ไม่ได้เป็นการวัดประสิทธิภาพอย่างเจาะจงของขั้นตอนวิธีในสถานการณ์ที่กำหนด

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนในการใช้ ควรระบุฐานลงไปด้วยเพื่อไม่ให้เกิดความเข้าใจผิด

สัญกรณ์ของฐานและฐานโดยนัย

บ่อยครั้งที่ฐานไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนในสัญกรณ์ log (x) ซึ่งในแต่ละสาขาวิชาก็มีธรรมเนียมการใช้ต่างกัน เราสามารถเข้าใจได้โดยนัยในสาขาวิชาหรือภาวะแวดล้อมนั้น

• นักคณิตศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ loge (x)
• วิศวกร นักชีววิทยา และนักดาราศาสตร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมสามัญ log10 (x)
• นักวิทยาการคอมพิวเตอร์กำหนดให้ log (x) หมายถึงลอการิทึมฐานสอง log2 (x)
• บนเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ ปุ่ม "log" หมายถึง log10 (x) และปุ่ม "ln" หมายถึง loge (x)
• ในภาษาโปรแกรมของคอมพิวเตอร์ที่ใช้งานอย่างแพร่หลาย [3] ฟังก์ชัน "log" จะคืนค่าเป็นลอการิทึมธรรมชาติ

มาตรฐานที่ต่างกันเกิดขึ้นจากสมบัติที่ต่างกันอันเป็นที่นิยมใช้ในสาขาวิชานั้น ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติมีสมบัติหลายอย่างที่เป็น "ธรรมชาติ" (เช่นอนุพันธ์ของมันเท่ากับ 1/x เป็นต้น) ทำให้เป็นที่น่าสนใจของนักคณิตศาสตร์ ในขณะที่เราเขียนจำนวนต่าง ๆ เป็นเลขฐานสิบ การคิดเลขในใจจึงง่ายขึ้นด้วยลอการิทึมสามัญ และเป็นที่น่าสนใจของวิศวกร และสุดท้าย คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลในหน่วยพื้นฐานเป็นบิต เทียบได้กับเลขฐานสอง เราสามารถทราบว่าจำนวนเต็ม n ใช้เนื้อที่เก็บกี่บิตอย่างคร่าว ๆ โดยใช้ลอการิทึมฐานสอง log2 (n) นอกจากนั้นการค้นหาแบบทวิภาคในรายการที่มีขนาด n จะสามารถทำการค้นหาภายใน log2 (n) ขั้นตอน สมบัติเช่นนี้ปรากฏซ้ำ ๆ ในวิทยาการคอมพิวเตอร์และทำให้ลอการิทึมฐานสองเป็นที่นิยมในสาขานี้ เป็นต้น

บ่อยครั้งที่ประเทศในแถบยุโรปใช้สัญกรณ์นี้ blog (x) แทนที่จะเป็น logb (x)[4]

สัญกรณ์ ln

ลอการิทึมธรรมชาติของ x เขียนได้อีกอย่างหนึ่งว่า ln (x) แทนที่จะเป็น loge (x) โดยเฉพาะในสาขาอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์

อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์บางคนไม่ยอมรับการใช้สัญกรณ์นี้ อาทิ พอล ฮาลมอส (Paul Halmos) นักคณิตศาสตร์ชาวยิว ได้วิจารณ์ไว้ในอัตชีวประวัติของเขาเมื่อ ค.ศ. 1985 ว่า ln เป็น "สัญกรณ์แบบเด็ก ๆ" และเขายังกล่าวอีกด้วยว่าไม่มีนักคณิตศาสตร์คนไหนเคยใช้ [5]ข้อเท็จจริงคือสัญกรณ์นี้คิดค้นขึ้นโดย เออร์วิง สตริงแฮม (Irving Stringham) ศาสตราจารย์จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ เมื่อ ค.ศ. 1893 [6][7]

วิทยาการคอมพิวเตอร์

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ ลอการิทึมฐานสองบางครั้งก็เขียนในรูปแบบ lg (x) ซึ่งเสนอโดย เอดเวิร์ด เรนโกลด์ (Edward Reingold) และทำให้แพร่หลายโดย โดนัลด์ คนูธ (Donald Knuth) อย่างไรก็ตามสัญกรณ์นี้ก็มีการใช้เป็นลอการิทึมสามัญ และใช้ lb (x) สำหรับลอการิทึมฐานสองแทน [8] ในตำราของรัสเซีย สัญกรณ์ lg (x) มีการใช้แทนลอการิทึมฐานสิบโดยทั่วไป [9] รวมทั้งในเยอรมนี ในขณะที่ ld (x) หรือ lb (x) ใช้เป็นลอการิทึมฐานสอง ภาษาโปรแกรมพีแอล/วันใช้สัญกรณ์ log2 (x) สำหรับลอการิทึมฐานสอง

ฐาน b ของฟังก์ชันลอการิทึมที่ทำงานเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรม ถูกละทิ้งหรือทำให้ไม่ทราบค่า เพื่อความสะดวกต่อการใช้ในการเปลี่ยนฐาน ซึ่งเป็นเอกลักษณ์อย่างหนึ่งสำหรับการคำนวณฐานใด ๆ ไปเป็นลอการิทึมฐาน r ของ x ดังนี้

log r ⁡ ( x ) = log b ⁡ ( x ) log b ⁡ ( r ) {\displaystyle \log _{r}(x)={\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(r)}}} สำหรับฐาน b ใด ๆ หรือเขียนเพียงแค่ log r ⁡ ( x ) = log ⁡ ( x ) log ⁡ ( r ) {\displaystyle \log _{r}(x)={\frac {\log(x)}{\log(r)}}}

ฐาน b ของฟังก์ชันลอการิทึมสามารถกำหนดโดยเจาะจงลงไปได้ เช่นการคำนวณความผิดพลาดของความคลาดเคลื่อน ด้วยเอกลักษณ์ต่อไปนี้

b = n 1 log b ⁡ ( n ) {\displaystyle b=n^{\frac {1}{\log _{b}(n)}}} หรือเขียนเพียงแค่ base = n 1 log ⁡ ( n ) {\displaystyle {\text{base}}=n^{\frac {1}{\log(n)}}} สำหรับค่า n ใด ๆ ที่เหมาะสม

การแนะนำและมาตรฐาน

สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ กระทรวงพาณิชย์สหรัฐอเมริกา ได้แนะนำไว้ว่าควรปฏิบัติตามมาตรฐานไอเอสโอเรื่อง ISO 31-11:1992 เครื่องหมายและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับใช้ในวิทยาศาสตร์กายภาพและเทคโนโลยี ซึ่งได้แนะนำสัญกรณ์ไว้สามแบบดังนี้ [10]

• สัญกรณ์ ln (x) หมายถึง loge (x)
• สัญกรณ์ lg (x) หมายถึง log10 (x)
• สัญกรณ์ lb (x) หมายถึง log2 (x)