มีเพียงจำนวนจริงบวกเท่านั้นที่ให้ผลลัพธ์ของลอการิทึมเป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถขยายไปได้บนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งครอบคลุมจำนวนลบด้วย และให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อน แต่ค่าของมันอาจมีมากกว่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น e2πi = e0 = 1 ซึ่งจะทำให้ลอการิทึมฐาน e ของ 1 มีผลลัพธ์เป็นทั้ง 2πi และ 0

เมื่อ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนจำนวนหนึ่งซึ่งเขียนได้ในรูปแบบ x + iy โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง ลอการิทึมของ z สามารถหาได้จากการแปลงเป็นรูปแบบเชิงขั้ว นั่นคือ

z = r e i θ = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) {\displaystyle z=r\mathrm {e} ^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta )\!}

โดยที่ r และ θ มาจาก

r = | z | = x 2 + y 2 {\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} θ = arg ⁡ ( z ) {\displaystyle \theta =\arg(z)\!} คือมุมใดก็ได้ที่ทำให้ y/x = tan θ ซึ่งอาจมีมากกว่าหนึ่งค่า

ถ้าฐานของลอการิทึมถูกเลือกเป็นค่า e นั่นคือใช้ loge หรือ ln อันหมายถึงลอการิทึมธรรมชาติ ดังนั้นลอการิทึมเชิงซ้อนของ z คำนวณได้ดังนี้

log ⁡ ( z ) = ln ⁡ | z | + i arg ⁡ ( z ) = ln ⁡ r + i ( θ + 2 π k ) {\displaystyle \log(z)=\ln |z|+i\arg(z)=\ln r+i(\theta +2\pi k)\!}

แต่เนื่องจาก arg เป็นฟังก์ชันที่มีผลลัพธ์หลายค่า ดังนั้นจึงมีการนิยามฟังก์ชันใหม่ของลอการิทึมคือ Log (ขึ้นต้นอักษรตัวใหญ่) ซึ่งจะให้ค่าเพียงค่าเดียวดังนี้

Log ⁡ ( z ) = ln ⁡ | z | + i Arg ⁡ ( z ) = ln ⁡ r + i φ {\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln |z|+i\operatorname {Arg} (z)=\ln r+i\varphi \!}

โดยที่ φ จะให้ค่าเพียงค่าเดียวในช่วง (−π, π] ซึ่งมีความหมายเหมือนกับ φ ≡ θ (mod 2π) และ Arg คือฟังก์ชันที่ให้ค่ามุมเพียงค่าเดียวในช่วงดังกล่าว ซึ่งเป็นการนิยามเพิ่มเติมจากฟังก์ชัน arg ฟังก์ชัน Arg นี้เมื่อใช้กับจำนวนจริงจะคืนค่าเป็น 0 ออกมา ซึ่งส่งผลให้พจน์ที่เป็นจำนวนจินตภาพถูกตัดทิ้งไป เหลือแต่ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงเท่านั้น

ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนจริงลบ r หาได้จากสูตร

Log ⁡ ( r ) = ln ⁡ | r | + i π {\displaystyle \operatorname {Log} (r)=\ln |r|+i\pi \!}

สำหรับลอการิทึมฐานอื่นที่ไม่ใช่ e ลอการิทึมเชิงซ้อน logb (z) สามารถนิยามได้จาก ln (z) / ln (b) ซึ่งแต่ละพจน์ได้นิยามวิธีการคำนวณไว้แล้ว

ในกรณีที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน log zp อาจมีค่าไม่เท่ากับ p log z เสมอไป