เมื่อ x และ b ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริงบวก logb x จะให้ผลเป็นจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียว ขนาดหรือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนของฐาน b จะต้องไม่เป็น 0 หรือ 1 แต่โดยทั่วไปฐานของลอการิทึมจะเป็น 10, e หรือ 2 มีการนิยามลอการิทึมสำหรับทั้งจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนด้วย [1][2]

สมบัติหลักของลอการิทึมคือการลดทอนการคูณไปเป็นการบวก ซึ่งพัฒนาจากเอกลักษณ์ของการยกกำลัง

b x × b y = b x + y {\displaystyle b^{x}\times b^{y}=b^{x+y}\!}

เมื่อใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า

log b ⁡ ( b x × b y ) = log b ⁡ b x + y = x + y = log b ⁡ b x + log b ⁡ b y {\displaystyle \log _{b}\left(b^{x}\times b^{y}\right)=\log _{b}b^{x+y}=x+y=\log _{b}b^{x}+\log _{b}b^{y}\!}

ตัวอย่างเช่น

4 = 2 2 ⇒ log 2 ⁡ 4 = 2 {\displaystyle 4=2^{2}\,\Rightarrow \,\log _{2}4=2\!} 8 = 2 3 ⇒ log 2 ⁡ 8 = 3 {\displaystyle 8=2^{3}\,\Rightarrow \,\log _{2}8=3\!} log 2 ⁡ 32 = log 2 ⁡ ( 4 × 8 ) = log 2 ⁡ 4 + log 2 ⁡ 8 = 2 + 3 = 5 {\displaystyle \log _{2}32=\log _{2}(4\times 8)=\log _{2}4+\log _{2}8=2+3=5\!}

สมบัติที่เกี่ยวข้องคือการลดรูปยกกำลังไปเป็นการคูณ โดยใช้เอกลักษณ์นี้

c = b log b ⁡ c {\displaystyle c=b^{\log _{b}c}}

ซึ่งเมื่อนำ c ไปยกกำลัง p จะได้ว่า

c p = ( b log b ⁡ c ) p = b p log b ⁡ c {\displaystyle c^{p}=\left(b^{\log _{b}c}\right)^{p}=b^{p\log _{b}c}}

กล่าวโดยนัยได้ว่า การหาค่าจำนวนหนึ่งที่ยกกำลัง p ก่อนอื่นให้หาค่าลอการิทึมฐาน b ของจำนวนนั้นแล้วคูณด้วย p แล้วใส่ผลคูณเป็นเลขชี้กำลังกลับไปยังฐาน b นั่นคือ จำนวนที่ยกกำลัง = b (ผลคูณ)

หรือใส่ลอการิทึมเข้าไปจะได้ว่า

log b ⁡ c p = p log b ⁡ c {\displaystyle \log _{b}c^{p}=p\log _{b}c\!}

ตัวอย่างเช่น

log 2 ⁡ 64 = log 2 ⁡ 4 3 = 3 log 2 ⁡ 4 = 6 {\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}4^{3}=3\log _{2}4=6\!}

นอกจากการลดรูปการคูณเป็นการบวก และการยกกำลังเป็นการคูณแล้ว ลอการิทึมยังสามารถลดรูปการหารเป็นการลบ และรากเป็นการหาร เช่น

log 2 ⁡ 16 = log 2 ⁡ 64 4 = log 2 ⁡ 64 − log 2 ⁡ 4 = 6 − 2 = 4 {\displaystyle \log _{2}16=\log _{2}{\tfrac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4} log 2 ⁡ 4 3 = 1 3 log 2 ⁡ 4 = 2 3 {\displaystyle \log _{2}{\sqrt[{3}]{4}}={\tfrac {1}{3}}\log _{2}4={\tfrac {2}{3}}}

ลอการิทึมทำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อันยืดยาวให้คำนวณง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็นการคูณหรือการบวก สำหรับการคำนวณด้วยมือโดยประมาณ สามารถทำได้โดยการเทียบค่าจากตารางลอการิทึม หรือใช้สไลด์รูล สำหรับลอการิทึมสามัญ มีสมบัติหนึ่งที่ปรากฏในการใช้ตารางที่ว่า ลำดับตัวเลขใด ๆ ที่มีค่าเดียวกัน แต่มีค่าประจำหลักต่างกัน จะยังคงให้ แมนทิสซา (mantissa) ค่าเดียวกัน และต่างกันเพียงแค่ แคแรกเทอริสติก (characteristic)