ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

g ( x + δ ) − g ( x ) = δ g ′ ( x ) + ϵ ( δ ) {\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,} ซึ่ง ϵ ( δ ) δ → 0 {\displaystyle {\frac {\epsilon (\delta )}{\delta }}\to 0\,} ขณะที่ δ → 0. {\displaystyle \delta \to 0.}

ในทำนองเดียวกัน

f ( g ( x ) + α ) − f ( g ( x ) ) = α f ′ ( g ( x ) ) + η ( α ) {\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\,} ซึ่ง η ( α ) α → 0 {\displaystyle {\frac {\eta (\alpha )}{\alpha }}\to 0\,} ขณะที่ α → 0. {\displaystyle \alpha \to 0.\,}

จะได้

f ( g ( x + δ ) ) − f ( g ( x ) ) {\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}	= f ( g ( x ) + δ g ′ ( x ) + ϵ ( δ ) ) − f ( g ( x ) ) {\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta ))-f(g(x))\,}
	= α δ f ′ ( g ( x ) ) + η ( α δ ) {\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\,}

ซึ่ง α δ = δ g ′ ( x ) + ϵ ( δ ) {\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,} จะเห็นว่าขณะที่ δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} นั้น α δ δ → g ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {\alpha _{\delta }}{\delta }}\to g'(x)} และ η ( α δ ) δ → 0 {\displaystyle {\frac {\eta (\alpha _{\delta })}{\delta }}\to 0} ดังนั้น

f ( g ( x + δ ) ) − f ( g ( x ) ) δ → g ′ ( x ) f ′ ( g ( x ) ) {\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x))} ขณะที่ δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0}