กำหนดสัญลักษณ์ a j , k {\displaystyle \mathbf {a} _{j,k}} (ตัวหนา) หมายถึงลำดับจำกัดที่มีสมาชิกตั้งแต่ตัวที่ j ถึงตัวที่ k โดยที่ 0 ≤ j ≤ k ซึ่งมีสมาชิกจำนวน (k − j) ตัวและเป็นสมาชิกในเซต S และกำหนดให้สมาชิกตัวที่ i (ai) มีค่าอยู่ระหว่าง j กับ k นั่นคือ j ≤ i < k (ดังนั้นถ้าหาก k = j ลำดับนั้นจะว่างเปล่า)

กำหนดฟังก์ชัน f : S × S นิยามฟังก์ชันใหม่ Fl บนลำดับจำกัดที่ไม่เป็นลำดับว่าง ที่มีสมาชิกในเซต S คือฟังก์ชันวนซ้ำข้างซ้าย

F l ( a 0 , k ) = { a 0 , k = 1 f ( F l ( a 0 , k − 1 ) , a k ) , k > 1 {\displaystyle F_{l}(\mathbf {a} _{0,k})={\begin{cases}a_{0},&k=1\\f(F_{l}(\mathbf {a} _{0,k-1}),a_{k}),&k>1\end{cases}}}

และนิยามทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันใหม่ Fr คือฟังก์ชันวนซ้ำข้างขวา

F r ( a 0 , k ) = { a 0 , k = 1 f ( a 0 , F r ( a 1 , k ) ) , k > 1 {\displaystyle F_{r}(\mathbf {a} _{0,k})={\begin{cases}a_{0},&k=1\\f(a_{0},F_{r}(\mathbf {a} _{1,k})),&k>1\end{cases}}}

ถ้าหาก f มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ดังนั้น Fl = Fr เป็นฟังก์ชันหรือการดำเนินการทวิภาคที่วนซ้ำได้ทั้งสองข้าง

ถ้า f มีเอกลักษณ์ซ้ายเพียงตัวเดียวคือ e ดังนั้นนิยามของ Fl สามารถปรับเปลี่ยนให้สามารถใช้ได้บนลำดับว่าง โดยนิยามให้ค่าของ Fl บนลำดับว่างเท่ากับ e ทำนองเดียวกันกับ Fr เมื่อ f มีเอกลักษณ์ขวาเพียงตัวเดียว ตัวอย่างเช่น ผลรวมว่างและผลคูณว่าง จะมีค่าเท่ากับ 0 และ 1 ซึ่งเป็นเอกลักษณ์การบวกและการคูณตามลำดับ