ให้ X {\displaystyle X} เป็นตัวแปรสุ่มใดๆ แล้ว

Pr [ X ≥ a ]   ≤   inf t > 0 e − t a M X ( t ) {\displaystyle \Pr[X\geq a]\ \leq \ \inf _{t>0}e^{-ta}{\mathcal {M}}_{X}(t)}

โดยที่

M X ( t ) = E [ e t X ] {\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(t)=\mathrm {E} [e^{tX}]\quad } คือ ฟังก์ชันกำเนิดโมเมนต์ (moment generating function)

การพิสูจน์

สำหรับค่าคงที่บวก t {\displaystyle t\,} ใดๆ e t x {\displaystyle e^{tx}\,} เป็นฟังก์ชันเพิ่มที่มีค่าบวกเสมอ ดังนั้น X ≥ a {\displaystyle X\geq a} ก็ต่อเมื่อ e t X ≥ e t a {\displaystyle e^{tX}\geq e^{ta}}

เมื่อมอง e t X {\displaystyle e^{tX}\,} เป็นตัวแปรสุ่มและใช้อสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

Pr [ X ≥ a ] = Pr [ e t X ≥ e t a ] ≤ E [ e t X ] e t a = e − t a M X ( t ) {\displaystyle \Pr[X\geq a]=\Pr[e^{tX}\geq e^{ta}]\leq {\frac {\mathrm {E} [e^{tX}]}{e^{ta}}}=e^{-ta}{\mathcal {M}}_{X}(t)}

เนื่องจากข้อความข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุกๆ จำนวนจริงบวก t {\displaystyle t\,} มันจึงเป็นจริงสำหรับ t {\displaystyle t\,} ที่ทำให้ e − t a M X ( t ) {\displaystyle e^{-ta}{\mathcal {M}}_{X}(t)\,} มีค่าต่ำสุดด้วย เพราะฉะนั้น

Pr [ X ≥ a ] ≤ inf t > 0 e − t a M X ( t ) {\displaystyle \Pr[X\geq a]\leq \inf _{t>0}e^{-ta}{\mathcal {M}}_{X}(t)}

ตามต้องการ