เมนูนำทาง
ความยาวคลื่นคอมป์ตัน
ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน (reduced Compton wavelength) หาได้โดยหารความยาวคลื่นคอมป์ตันด้วย 2 π {\displaystyle {2\pi }}
λ 2 π = ℏ m c {\displaystyle {\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}\ }ในระดับควอนตัมนิยมใช้ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน โดยเฉพาะในสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein–Gordon equation) ของอนุภาคอิสระ
∇ 2 ψ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ = ( m c ℏ ) 2 ψ {\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi }รวมถึงสมการดิแรก (Dirac equation) (สมการต่อไปนี้เขียนในรูปโคแวเรียนต์ (covariant) โดยอาศัยข้อตกลงไอน์สไตน์ (Einstein summation convention)):
− i γ μ ∂ μ ψ + ( m c ℏ ) ψ = 0 {\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0\,}นอกจากนี้ยังปรากฏในสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger's equation) แม้จะไม่ได้เขียนอย่างชัดเจนไว้ในสมการของเดิมก็ตาม สมการต่อไปนี้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน
i ℏ ∂ ∂ t ψ = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ − 1 4 π ϵ 0 Z e 2 r ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi }เมื่อหารตลอดด้วย ℏ c {\displaystyle \hbar c} และเขียนในรูปของค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด (fine structure constant) จะได้ว่า
i c ∂ ∂ t ψ = − 1 2 ( ℏ m c ) ∇ 2 ψ − α Z r ψ {\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi }เนื่องจากข้อจำกัดการวัดในทางกลศาสตร์ควอนตัมและสัมพัทธภาพพิเศษ[2] ทำให้การวัดค่าความยาวคลื่นไม่แม่นยำสมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ การวัดตำแหน่งของอนุภาคด้วยแสง หากต้องการเห็นตำแหน่งชัดเจน ก็ต้องใช้แสงความยาวคลื่นน้อย ๆ ซึ่งมีโฟตอนพลังงานสูง หากพลังงานของโฟตอนเกินกว่า mc2 อาจก่อให้เกิดอนุภาคใหม่ได้จากหลักการสมมูลมวล-พลังงาน
กำหนดให้ความไม่แน่นอนของตำแหน่งเป็น Δx จากนั้นจากหลักความไม่แน่นอนของตำแหน่งและโมเมนตัม
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 , {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}ทำให้ได้ว่า
Δ p ≥ ℏ 2 Δ x . {\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}ใช้สมการโมเมนตัม-พลังงานแบบสัมพัทธภาพ p = γm0v จะได้ว่า เมื่อ Δp มีค่ามากกว่า mc จะได้ว่าความไม่แน่นอนของพลังงานจะต้องมากกว่า mc2 ซึ่งเป็นพลังงานที่สมมูลกับมวลที่มากพอจะสร้างอนุภาคตัวใหม่ ดังนั้นจะได้ว่าความไม่แน่นอนของความยาวคลUsing the relativistic relation between momentum and energy p = γm0v, when Δp exceeds mc then the uncertainty in energy is greater than mc2, which is enough energy to create another particle of the same type. It follows that there is a fundamental limitation on Δx:
Δ x ≥ 1 2 ( ℏ m c ) . {\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).}ความยาวคลื่นคอมป์ตันต่างจาก ความยาวคลื่นเดอบรอย (de Broglie wavelength) ซึ่งขึ้นกับโมเมนตัมของอนุภาค และเป็นตัวบ่งชี้ระหว่างความเป็นอนุภาคและสสาร
ความยาวอะตอมปกติ เลขคลื่น และพื้นที่ในฟิสิกส์มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอน ( λ ¯ e ≡ λ e 2 π ≃ 386 fm {\displaystyle {\bar {\lambda }}_{e}\equiv {\tfrac {\lambda _{e}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}} ) และค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด ( α ≃ 1 137 {\displaystyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}} )
รัศมีโบร์ (Bohr radius) มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันดังนี้
a 0 = 1 α ( λ e 2 π ) ≃ 137 × λ ¯ e ≃ 5.29 × 10 4 fm {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{e}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}รัศมีอิเล็กตรอนแบบฉบับ (classical electron radius) มีขนาดสามเท่าใหญ่กว่ารัศมีโปรตอน และสามารถเขียนเป็นสมการได้ว่า
r e = α ( λ e 2 π ) ≃ λ ¯ e 137 ≃ 2.82 fm {\displaystyle r_{e}=\alpha \left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{e}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}ค่าคงตัวริดเบิร์ก (Rydberg constant) เขียนได้ดังนี้
R ∞ = α 2 2 λ e {\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}}ในอนุภาคเฟอร์มิออน ค่าคงตัวคอมป์ตันลดทอนและพื้นที่ตัดขวางอันตรกิริยามีความสัมพันธ์แก่กัน ยกตัวอย่าง พื้นที่ตัดขวางของการกระเจิงทอมสันของโฟตอนจากอิเล็กตรอน มีค่า
σ T = 8 π 3 α 2 λ ¯ e 2 ≃ 66.5 fm 2 {\displaystyle \sigma _{T}={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{e}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2}}ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ตัดขวางของนิวเคลียสเหล็ก-56
ในทฤษฎีเกจ (Gauge theory) ความยาวคลื่นคอมป์ตันของโบซอนมีความสัมพันธ์กับพิสัยของอันตรกิริยายุกะวะ (Yukawa interaction) ในส่วนของโฟตอนซึ่งไม่มีมวลนิ่ง พิสัยมีค่าเป็นอนันต์
ความยาวและพื้นที่ในทางฟิสิกส์แรงดึงดูด สัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันและค่าคงตัวแรงดึงดูดระหว่างมวล (gravitational coupling constant) α G {\displaystyle \alpha _{G}} (เทียบได้กับค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด)
มวลพลังค์ (Planck mass) เมื่อคำนวณเป็นค่าความยาวคอมป์ตันแล้วหารด้วยสองจะได้เท่ากับรัศมีชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild radius) หรือความยาวพลังค์ Planck length) ℓ P {\displaystyle \ell _{P}} .
ℓ P = λ e α G 2 π {\displaystyle \ell _{P}=\lambda _{e}\,{\frac {\sqrt {\alpha _{G}}}{2\pi }}}เมนูนำทาง
ความยาวคลื่นคอมป์ตันใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: ความยาวคลื่นคอมป์ตัน