ศ.นพ.จรัส สุวรรณเวลา เกิดที่ตำบลทับเที่ยง อำเภอเมืองตรัง จังหวัดตรัง เป็นบุตรจ้อง สุวรรณเวลา และแล่ม สุวรรณเวลา มีพี่น้องทั้งหมด 5 คน สมรสกับศาสตราจารย์กิตติคุณ แพทย์หญิง คุณหญิงนิตยา สุวรรณเวลา (สกุลเดิม อัศวนนท์) มีธิดา 2 คน คือ ศาสตราจารย์ แพทย์หญิง นิจศรี ชาญณรงค์ กรรมการแพทยสภา วาระ พ.ศ. 2562-2564 และ อาจารย์ ทันตแพทย์หญิง ดร.ใจแจ่ม สุวรรณเวลา

ศ.นพ.จรัส สุวรรณเวลา สำเร็จการศึกษาชั้นมัธยมปีที่ 6 จากโรงเรียนวิเชียรมาตุ จังหวัดตรัง และชั้นเตรียมอุดมศึกษาจากโรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย สำเร็จเตรียมแพทย์จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย โดยได้รับเหรียญทองแดงคะแนนเยี่ยมปีที่ 1 และ 2 และปริญญาแพทยศาสตรบัณฑิต (เกียรตินิยมอันดับ 2) จากคณะแพทยศาสตร์โรงพยาบาลจุฬาลงกรณ์ มหาวิทยาลัยแพทยศาสตร์ (ปัจจุบันคือคณะแพทยศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย) ได้รับเหรียญทองแดงคะแนนเยี่ยมในการสอบและเหรียญทองคะแนนเยี่ยมตลอดหลักสูตร รวมทั้งเหรียญทองแดงคะแนนเยี่ยมในวิชากายวิภาคศาสตร์ สรีรวิทยา พยาธิวิทยา อายุรศาสตร์ และสูติ-นรีเวชวิทยา ได้รับพระราชทานทุนมูลนิธิอานันทมหิดล แผนกแพทยศาสตร์เป็นคนแรก เพื่อไปศึกษาต่อวิชาประสาทศัลยศาสตร์ที่ประเทศสหรัฐอเมริกา ได้รับปริญญา Master of Science จากมหาวิทยาลัยชิคาโก และ American Board of Neurological Surgery จาก Wake Forest University ได้รับเกียรติเป็นสมาชิกของ F.A.C.S. (Fellows of American College of Surgeons) และCongress of Neurological Surgeons