ถ้วน หลีกภัย เกิดที่ตำบลนาตาล่วง[1] บ้างก็ว่าที่บ้านท่าจีน ตำบลบางรัก[2][3] ในเขตอำเภอเมืองตรัง จังหวัดตรัง เมื่อ พ.ศ. 2458[4] มีชื่อเดิมว่า กิมถ้วน จูห้อง[2] เป็นบุตรคนห้าจากทั้งหมดเจ็ดคนของจุง และซุ่นกี่ จูห้อง[3] บิดาและมารดามีเชื้อสายฮกเกี้ยน และใช้นามสกุลว่า "จูห้อง" ซึ่งเป็นหนี่งใน 35 สกุลเก่าแก่ของชาวฮกเกี้ยนในจังหวัดตรัง[5] แต่เดิมมีชื่อว่า "กิมถ้วน" แต่ภายหลังเหลือเพียงว่า "ถ้วน" ตามคำเรียกของคนใต้[6] เธอมีน้องต่างมารดาอีกสี่คน[3]

ถ้วนเป็นหลานตาของหลวงผดุงชนเกษม (พันตี้) ซึ่งเป็นกำนันตำบลบางรัก[3] และมีศักดิ์เป็นหลานลุงของจัง จริงจิตร สมาชิกสภาผู้แทนราษฎร (ส.ส.) คนแรกของจังหวัดตรัง เมื่อจังลงสมัครเลือกตั้ง ถ้วนในขณะนั้นยังเป็นเด็ก ๆ อยู่ ได้เป็นผู้ช่วยหาเสียงให้ เนื่องจากมีความสนใจในการเมือง จนได้รับเลือกตั้งในที่สุด [7]

ในวัยเด็กถ้วนอยากจะเป็นนางพยาบาล แต่ไม่สมหวังเนื่องจากไม่ได้เรียนหนังสือ เพราะเป็นบุตรคนโต คอยดูแลมารดาที่เป็นอัมพาตโดยให้น้อง ๆ ได้เรียนหนังสือ[6] ทั้งช่วยบิดาทำมาหากินตลอด เช่น ทำกระเบื้องปูหลังคาแบบโบราณ, สวนยาง, ค้าขายต่าง ๆ เป็นต้น จนกระทั่งสามารถตั้งตัวได้ขณะที่มีอายุเพียง 15 ปี

ถ้วนได้แต่งงานกับครูประชาบาลในโรงเรียนวัดควนวิเศษ คือ ครูเฮิด หรือ นิยม หลีกภัย ภาษาฮกเกี้ยนมีชื่อว่า ตันฮวด แซ่ลิ (ชื่อจีนกลาง: หลี่เฉินฟา)[2] มีลูกกับสามีทั้งสิ้น 9 คนเป็นชาย 6 หญิง 3 โดยนายชวนเป็นคนที่ 3 แต่แม้กระทั่งแต่งงานไปแล้ว นางถ้วนมิได้เป็นแค่แม่บ้านอย่างเดียว ก็ยังคงประกอบอาชีพค้าขายตามเดิม[7]