ออยเลอร์ได้พิสูจน์บทตั้งการจับมือโดยนับจำนวนของคู่ลำดับ (v, e) โดยที่ e แทนด้วยเส้นเชื่อม และ v แทนด้วยจุดยอดที่เป็นปลายของเส้นเชื่อมนั้น เนื่องจากเส้นเชื่อมมีปลายสองด้านจึงนับรวมได้ทั้งหมด 2|E| นอกจากนี้ ระดับชั้นของจุดยอดก็คือจำนวนของเส้นเชื่อมที่มีปลายข้างหนึ่งที่จุดยอดนั้น ดังนั้นผลรวมของระดับขั้นก็คือจำนวนของคู่ลำดับ (v, e) ซึ่งก็คือ 2|E| ด้วย

นอกจากนี้ เนื่องจากระดับขั้นของจุดยอดเป็นจำนวนเต็ม และค่า 2|E| เป็นจำนวนเต็มคู่หากมีจุดยอดที่มีระดับขั้นคี่เป็นจำนวนคี่จะทำให้สมการไม่เป็นจริงเนื่องจากด้านซ้ายสมการเป็นจำนวนเต็มคี่ ส่วนด้านขวาสมการเป็นจำนวนเต็มคู่ ดังนั้นจึงได้ว่าจุดยอดที่มีระดับขั้น คี่จะมีเป็นจำนวนคู่เสมอ