เป็นบุตรคนโตของนาย โชติ-นางน้อม (สกุลเดิม อึ้งภากรณ์) ล่ำซำ เกิดวันจันทร์ที่ 12 มกราคม พ.ศ. 2468 ที่บ้านในซอยผักกาด ถนนเจริญกรุง ใกล้สี่แยกถนนเสือป่า (ปัจจุบันเป็นที่ตั้งอาคารบริษัทเมืองไทยประกันชีวิต) สมเด็จพระอริยวงศาคตญาณ สมเด็จพระสังฆราช (อยู่ ญาโณทโย) วัดสระเกศราชวรมหาวิหาร ประทานชื่อให้ บัญชามีน้องชายและน้องสาวรวมแล้ว 7 คนดังนี้[3]

• นางชูจิตร สีบุญเรือง
• คุณหญิงชัชนี (รัชนี) จาติกวณิช
• นางชนาทิพย์ จูตระกูล
• นายบรรยงค์ ล่ำซำ
• นายบรรจบ ล่ำซำ
• นางยุตติ ล่ำซำ
• นายยุพิน เริงประเสริฐวิทย์

ด้านครอบครัว บัญชาสมรสกับ ม.ร.ว. สำอางวรรณ เทวกุล (15 กรกฎาคม พ.ศ. 2471 - 8 พฤศจิกายน พ.ศ. 2560) บุตรีของ พล.ต.ม.จ. ปรีดิเทพย์พงษ์ เทวกุล กับ ม.ร.ว. สอางค์ เทวกุล (ราชสกุลเดิมคือปราโมช) และยังเป็นพี่สาวต่างมารดาของ ม.ร.ว. ปรีดิยาธร เทวกุล เมื่อวันที่ 14 มีนาคม พ.ศ. 2495 มีบุตรธิดา 3 คนคือ

• นายบัณฑูร ล่ำซำ เกิดวันที่ 15 มกราคม พ.ศ. 2496 สมรสกับ อุษา จิระพงศ์
• นางสุภรรณ ปันยารชุน เกิดวันที่ 24 กรกฎาคม พ.ศ. 2497 สมรสกับ กฤติ ปันยารชุน
• นางวรางคณา เดอเลออน[4] เกิดวันที่ 27 มกราคม พ.ศ. 2503 สมรสกับ แอนโทนี เดอเลออน

บัญชาถึงแก่กรรม ในวันที่ 18 กรกฎาคม พ.ศ. 2535 รวมอายุได้ 67 ปี