ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุด p และ q คือความยาวของส่วนของเส้นตรง pq ถ้า p = (p1, p2, …, pn) และ q = (q1, q2, …, qn) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เป็นจุดสองจุดบนปริภูมิยุคลิด n มิติ ระยะทางระหว่างจุด p กับ q คำนวณได้จาก

d ( p , q ) = ( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 + ⋯ + ( p n − q n ) 2 = ∑ i = 1 n ( p i − q i ) 2 {\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}}

ค่าประจำแบบยุคลิด คือระยะทางจากจุดหนึ่งจุด p ไปยังจุดกำเนิด (0, 0, …, 0) บนปริภูมิยุคลิด

‖ p ‖ = p 1 2 + p 2 2 + ⋯ + p n 2 = p ⋅ p {\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}

ซึ่งสมการตัวหลังเกี่ยวข้องกับผลคูณจุด เป็นขนาดของเวกเตอร์ p จากจุดกำเนิด ระยะทางแบบยุคลิดจึงอาจนิยามได้อีกแบบหนึ่งดังนี้

‖ p − q ‖ = ( p − q ) ⋅ ( p − q ) = ‖ p ‖ 2 + ‖ q ‖ 2 − 2 p ⋅ q {\displaystyle \|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|={\sqrt {(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\cdot (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}={\sqrt {\|\mathbf {p} \|^{2}+\|\mathbf {q} \|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}}

กรณีพิเศษ

ในหนึ่งมิติ ระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นจำนวนจริงคือค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของสองค่านั้น ดังนั้นถ้าให้ p และ q เป็นจุดสองจุด (หรือจำนวนสองจำนวน) บนเส้นจำนวนจริงแล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q จึงคำนวณได้จาก

d ( p , q ) = ( p − q ) 2 = | p − q | {\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p-q)^{2}}}=|p-q|}

ในสองมิติแบบยุคลิด ถ้า p = (p1, p2) และ q = (q1, q2) แล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q สามารถคำนวณได้ดังนี้ ซึ่งมีสูตรเหมือนกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

d ( p , q ) = ( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 {\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}}

จากนิยามแบบที่สองของระยะทางแบบยุคลิด ถ้าหาก p = (r1, θ1) และ q = (r2, θ2) ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จะสามารถคำนวณระยะทางได้จากสูตรนี้

‖ p − q ‖ = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) {\displaystyle \|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}}

ในสามมิติแบบยุคลิด ระยะทางระหว่าง p และ q ก็คือ

d ( p , q ) = ( p 1 − q 1 ) 2 + ( p 2 − q 2 ) 2 + ( p 3 − q 3 ) 2 {\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}}

เมื่อมิติเพิ่มขึ้น พจน์ภายในก็เพิ่มขึ้นตามจำนวนมิติ เช่นนี้เรื่อยไป