log b ⁡ a = log d ⁡ ( a ) log d ⁡ ( b ) {\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}}

เอกลักษณ์นี้เป็นประโยชน์มากต่อการคำนวณลอการิทึมผ่านเครื่องคิดเลข โดยเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่มักจะมีแค่ปุ่ม ln และ log10 เท่านั้น ไม่มีลอการิทึมฐานอื่น ๆ เช่น log2 ดังนั้นเมื่อจะหา log2(3) จะใช้ log10(3) / log10(2) (หรือ ln(3)/ln(2)) แทนซึ่งผลลัพธ์มีค่าเท่ากัน

พิสูจน์

ให้ c = log b ⁡ a {\displaystyle c=\log _{b}a} จากนั้น b c = a {\displaystyle b^{c}=a} นำ log d {\displaystyle \log _{d}} ไปใส่ไว้ในสมการทั้งสองข้างจะได้ log d ⁡ b c = log d ⁡ a {\displaystyle \log _{d}b^{c}=\log _{d}a} ลดรูป c {\displaystyle c} จะได้ c log d ⁡ b = log d ⁡ a {\displaystyle c\log _{d}b=\log _{d}a} c = log d ⁡ a log d ⁡ b {\displaystyle c={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}} เมื่อ c = log b ⁡ a {\displaystyle c=\log _{b}a} ดังนั้น log b ⁡ a = log d ⁡ a log d ⁡ b {\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}}

โดยสมการนี้สามารถให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ได้อีกด้วย

log b ⁡ a = 1 log a ⁡ b {\displaystyle \log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}} log b n ⁡ a = log b ⁡ a n {\displaystyle \log _{b^{n}}a={{\log _{b}a} \over n}} b log a ⁡ d = d log a ⁡ b {\displaystyle b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}} − log b ⁡ a = log b ⁡ ( 1 a ) = log 1 b ⁡ a {\displaystyle -\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1 \over b}a} log b 1 ⁡ a 1 ⋯ log b n ⁡ a n = log b π ( 1 ) ⁡ a 1 ⋯ log b π ( n ) ⁡ a n , {\displaystyle \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},\,}

โดยให้ π {\displaystyle \scriptstyle \pi \,} เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวน 1, ..., n ใด ๆ ยกตัวอย่างเช่น

log b ⁡ w ⋅ log a ⁡ x ⋅ log d ⁡ c ⋅ log d ⁡ z = log d ⁡ w ⋅ log b ⁡ x ⋅ log a ⁡ c ⋅ log d ⁡ z . {\displaystyle \log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.\,}

การบวกและการลบของลอการิทึม

กฎการบวกและการลบของลอการิทึมดังต่อไปนี้มีประโยชน์มาก โดยเฉพาะในทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อมีการใช้ผลรวมของความน่าจะเป็นแบบลอการิทึม

log b ⁡ ( a + c ) = log b ⁡ a + log b ⁡ ( 1 + c a ) {\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)} log b ⁡ ( a − c ) = log b ⁡ a + log b ⁡ ( 1 − c a ) {\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)}

a {\displaystyle a} และ c {\displaystyle c} จะถูกสลับไปอยู่ทางขวาของสมการก็ต่อเมื่อ c > a {\displaystyle c>a} และเอกลักษณ์การลบของลอการิทึมไม่ได้นิยามไว้ ถ้า a = c {\displaystyle a=c} เพราะลอการิทึมของศูนย์ฐานใด ๆ ไม่ได้นิยามค่าไว้ ภาษาโปรแกรมหลายภาษาได้ระบุเฉพาะว่า log1p(x) เป็นฟังก์ชันที่คำนวณ log e ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle \log _{e}(1+x)} โดยไม่เกิดการ underflow เมื่อ x {\displaystyle x} มีค่าน้อย

เมื่อทำสมการให้อยู่ในรูปทั่วไปจะได้ว่า

log b ⁡ ∑ i = 0 N a i = log b ⁡ a 0 + log b ⁡ ( 1 + ∑ i = 1 N a i a 0 ) = log b ⁡ a 0 + log b ⁡ ( 1 + ∑ i = 1 N b ( log b ⁡ a i − log b ⁡ a 0 ) ) {\displaystyle \log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)}

เมื่อ a 0 > a 1 > … > a N {\displaystyle a_{0}>a_{1}>\ldots >a_{N}} are sorted in descending order.

Exponents

A useful identity involving exponents:

x log ⁡ ( log ⁡ ( x ) ) log ⁡ ( x ) = log ⁡ ( x ) {\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}