พิจารณาระบบดังต่อไปนี้:

ในแหล่งที่มาดังต่อไปนี้ คำว่า "จรวด" จะถูกนำไปใช้ในความหมายว่า "จรวดและเชื้อเพลิงจรวดที่ยังไม่ถูกเผาไหม้ทั้งหมด"

กฎข้อที่สองของนิวตันของการเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับแรงภายนอก ( F i {\displaystyle F_{i}\,} ) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงเส้นของระบบดังต่อไปนี้:

∑ F i = lim Δ t → 0 P 2 − P 1 Δ t {\displaystyle \sum F_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P_{2}-P_{1}}{\Delta t}}}

เมื่อ P 1 {\displaystyle P_{1}\,} คือ โมเมนตัมของจรวดที่เวลา t=0:

P 1 = ( m + Δ m ) V {\displaystyle P_{1}=\left({m+\Delta m}\right)V}

และ P 2 {\displaystyle P_{2}\,} คือ โมเมนตัมของจรวดและโมเมนตัมของมวลไอเสียที่เวลา t = Δ t {\displaystyle t=\Delta t\,} :

P 2 = m ( V + Δ V ) + Δ m V e {\displaystyle P_{2}=m\left(V+\Delta V\right)+\Delta mV_{e}}

และเมื่อเทียบกับผู้สังเกต:

V {\displaystyle V\,} คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา t=0

V + Δ V {\displaystyle V+\Delta V\,} คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา t = Δ t {\displaystyle t=\Delta t\,}

V e {\displaystyle V_{e}\,} คือ ความเร็วของมวลที่เพิ่มขึ้นให้กับไอเสีย (และมวลที่สูญเสียไปของจรวด) ในระหว่างช่วงเวลา Δ t {\displaystyle \Delta t\,}

m + Δ m {\displaystyle m+\Delta m\,} คือ มวลของจรวดที่เวลา t=0

m {\displaystyle m\,} คือ มวลของจรวดที่เวลา t = Δ t {\displaystyle t=\Delta t\,}

ความเร็วของไอเสีย V e {\displaystyle V_{e}} อยู่ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับความเร็วของไอเสีย v e {\displaystyle v_{e}} ในกรอบของจรวดโดย (เนื่องจากความเร็วของไอเสียเป็นไปในทิศทางที่เป็นลบ)

V e = V − v e {\displaystyle V_{e}=V-v_{e}}

ดังนั้น จะได้

P 2 − P 1 = m Δ V − v e Δ m {\displaystyle P_{2}-P_{1}=m\Delta V-v_{e}\Delta m\,}

และ, โดยใช้ d m = − Δ m {\displaystyle dm=-\Delta m} , เนื่องจากขณะดันออก เป็นบวก Δ m {\displaystyle \Delta m} จึงส่งผลให้เกิดการลดลงของมวล,

∑ F i = m d V d t + v e d m d t {\displaystyle \sum F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{e}{\frac {dm}{dt}}}

ถ้าไม่มีแรงภายนอกแล้ว ∑ F i = 0 {\displaystyle \sum F_{i}=0} และ

m d V d t = − v e d m d t {\displaystyle m{\frac {dV}{dt}}=-v_{e}{\frac {dm}{dt}}}

สมมติว่า v e {\displaystyle v_{e}\,} เป็นค่าคงที่, นี่อาจจะทำการอินทิเกรทให้ได้ผลเป็น:

Δ V   = v e ln ⁡ m 0 m 1 {\displaystyle \Delta V\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}

หรือสมมูลกับ

m 1 = m 0 e − Δ V   / v e {\displaystyle m_{1}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{e}}}      หรือ      m 0 = m 1 e Δ V   / v e {\displaystyle m_{0}=m_{1}e^{\Delta V\ /v_{e}}}      หรือ      m 0 − m 1 = m 1 ( e Δ V   / v e − 1 ) {\displaystyle m_{0}-m_{1}=m_{1}(e^{\Delta V\ /v_{e}}-1)}

เมื่อ m 0 {\displaystyle m_{0}} คือ มวลรวมเริ่มต้นรวมทั้งเชื้อเพลิงจรวด, m 1 {\displaystyle m_{1}} คือ มวลรวมสุดท้าย และ v e {\displaystyle v_{e}} คือ ความเร็วของไอเสียจรวดส่วนที่เกี่ยวกับจรวด (แรงดลจำเพาะ, หรือหากวัดในเวลาจะคูณด้วยอัตราเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)

ค่า m 0 − m 1 {\displaystyle m_{0}-m_{1}} เป็นมวลรวมของเชื้อเพลิงจรวดที่ถูกใช้, และด้วยเหตุนี้:

M f = 1 − m 1 m 0 = 1 − e − Δ V   / v e {\displaystyle M_{f}=1-{\frac {m_{1}}{m_{0}}}=1-e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}

เมื่อ M f {\displaystyle M_{f}} เป็นเศษส่วนมวลของเชื้อเพลิงจรวด (ส่วนหนึ่งของมวลรวมเริ่มต้นที่ใช้เป็นมวลปฏิกิริยา)

(เดลต้า v) คือการอินทิเกรทในช่วงเวลาของขนาดของความเร่งที่ผลิตโดยใช้เครื่องยนต์จรวด (สิ่งที่จะเป็นความเร่งที่เกิดขึ้นจริงถ้าแรงจากภายนอกไม่มี) ในพื้นที่ว่าง (หรือ อวกาศอิสระ), สำหรับกรณีของความเร่งในทิศทางของความเร็ว, นี้คือการเพิ่มขึ้นของความเร็ว ในกรณีที่มีความเร่งในทิศทางตรงข้าม (ชะลอความเร็วลง) มันคือการลดลงของอัตราเร็ว แน่นอนว่าแรงโน้มถ่วงและแรงฉุดก็คือตัวทำให้เกิดความเร่งต่อจรวด, และสามารถเพิ่มหรือลดลงได้ในการเพื่อที่จะเปลี่ยนแปลงความเร็วของมันโดยการได้รับประสบการณ์จากการควบคุมอากาศยานลำนั้น ๆ นั่นเอง ดังนั้น เดลต้า-v มักจะไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจริงในอัตราเร็วหรือความเร็วของอากาศยาน

ถ้าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกนำมาพิจารณา, สมการดังต่อไปนี้จะสามารถได้มาจากการเคลื่อนที่แบบจรวดเชิงสัมพัทธ (relativistic rocket), [4] ด้วย Δ v {\displaystyle \Delta v} อีกครั้งโดยถูกกำหนดให้เป็นความเร็วสุดท้ายของจรวด (หลังจากการเผาไหม้เชื้อเพลิงออกไปหมดและมีการลดลงของมวลส่วนที่เหลือ m 1 {\displaystyle m_{1}} ) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเมื่อจรวดเริ่มต้นเคลื่อนที่ที่จุดหยุดนิ่ง (ที่มีมวลส่วนที่เหลือรวมทั้งเชื้อเพลิงที่เป็น m 0 {\displaystyle m_{0}} ในตอนเริ่มต้น) และ c {\displaystyle c} ถูกกำหนดให้เป็นค่าสำหรับอัตราเร็วของแสงในสูญญากาศ:

m 0 m 1 = [ 1 + Δ v c 1 − Δ v c ] c 2 v e {\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{e}}}}

การเขียน m 0 m 1 {\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}} ให้เป็น R {\displaystyle R} , ด้วยพีชคณิตเล็ก ๆ น้อย ๆ แบบนี้จะช่วยทำให้สมการนี้ได้รับการปรับปรุงใหม่เป็น

Δ v c = R 2 v e c − 1 R 2 v e c + 1 {\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{e}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{e}}{c}}+1}}}

จากนั้นใช้เอกลักษณ์ R 2 v e c = exp ⁡ [ 2 v e c ln ⁡ R ] {\displaystyle R^{\frac {2v_{e}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{e}}{c}}\ln R\right]} (ในที่นี่ "exp" หมายถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exponential function); ดูเพิ่มเติม ลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าเช่นเดียวกับ "ยกกำลัง" ของเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์ลอการิทึม (Logarithmic identities) และเอกลักษณ์ tanh ⁡ x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 {\displaystyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}} (ดู ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (Hyperbolic function)) นี้จะเทียบเท่ากับ

Δ v = c ⋅ tanh ⁡ ( v e c ln ⁡ m 0 m 1 ) {\displaystyle \Delta v=c\cdot \tanh \left({\frac {v_{e}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}