สมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา

Time-dependent Schrödinger equation (general) i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = H ^ Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}

โดยที่

i คือ หน่วยจินตภาพ

ħ คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า

สัญลักษณ์ ∂/∂t แสดงถึง อนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลา t

Ψ (อักษรกรีกพไซ) คือ ฟังก์ชันคลื่นในระบบควอนตัม

r และ t คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งและเวลาตามลำดับ

Ĥ คือ ตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา

Time-independent Schrödinger equation (general) H ^ ⁡ Ψ = E Ψ {\displaystyle \operatorname {\hat {H}} \Psi =E\Psi }

สมการนี้เป็นการเขียนให้อยู่ในรูปตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน ซึ่งจะเรียกสมการนี้ว่าสมการEigenvalue ที่มีค่าคงตัว E เป็น Eigenvalue และมี Ψ เป็น Eigen function

ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น ศักย์แบบขั้นบันได กำแพงศักย์ บ่อศักย์แบบอนันต์ บ่อศักย์แบบลึกจำกัด เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทางกลศาสตร์ดั้งเดิมแก้ปัญหาอย่างชัดเจน

สมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมไฮโดรเจน

ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ ออร์บิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนเป็นไอเกนฟังก์ชันของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน 1 ตัว ในแกน z (Lz) ออบิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน(hydrogen-like atom) สามารถหาได้จากเลขควอนตัมหลัก n เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม l และเลขควอนตัมแม่เหล็ก m พลังงานเฉพาะของอะตอมมีค่าขึ้นกับค่า n เท่านั้น เราจึงต้องบวกเลขควอนตัมการหมุน ms = ±½ สำหรับในออร์บิทัลที่มีระดับพลังงานเท่ากันของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน ค่า n, l, m and s จะมีค่าเฉพาะที่เปลี่ยนไปตามระดับพลังงาน

การวิเคราะห์สมการชโรดิงเจอร์ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวนั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากมีแรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนเข้ามาเกี่ยวข้องกับการคำนวณ เราจึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) มาช่วยคำนวณ เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นหรือสมบัติทางควอนตัมอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงใช้แบบจำลองของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนในการแก้ปัญหา

จากกฎของคูลอมบ์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นดังสมการ

V ( r ) = − 1 4 π ϵ 0 Z e 2 r {\displaystyle V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}}

เมื่อ

• ε0 คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ,
• Z คือ เลขอะตอม (จำนวนโปรตอนในนิวเคลียส),
• e คือ ประจุของอิเล็กตรอน,
• r คือ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส

ดังนั้นจะได้สมการคลื่น (ในพิกัดทรงกลม) เป็น

ψ ( r , θ , ϕ ) = R n l ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}

โดย Y l m {\displaystyle Y_{lm}} คือ ฮาร์มอนิกส์ทรงกลม

จะได้สมการชเรอดิงเงอร์

[ − ℏ 2 2 μ ( 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ R ( r ) ∂ r ) − l ( l + 1 ) R ( r ) r 2 ) + V ( r ) R ( r ) ] = E R ( r ) , {\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left({1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right)+V(r)R(r)\right]=ER(r),}

โดย μ {\displaystyle \mu } คือ มวลลดทอน