โดยใช้ ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) และตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ vectorization operator ( vec {\displaystyle \operatorname {vec} } ) เราสามารถเขียนสมการในรูปแบบใหม่ได้เป็น

( I n ⊗ A + B T ⊗ I n ) vec ⁡ X = vec ⁡ C , {\displaystyle (I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}

โดยที่ I n {\displaystyle I_{n}} คือ n × n {\displaystyle n\times n} เมทริกซ์เอกลักษณ์ ในรูปแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า สมการซิลเวสเตอร์ สามารถเขียนได้อยู่ในรูป ระบบเชิงเส้น ที่มีมิติขนาด n 2 × n 2 {\displaystyle n^{2}\times n^{2}}
หมายเหตุ: อย่างไรก็ดีการเขียนสมการซิลเวสเตอร์ ในรูปแบบนี้ไม่เป็นที่แนะนำกับการใช้ในการหาผลตอบเชิงเลข (numerical solution) เพราะเป็นการใช้ขั้นตอนการคำนวณที่มากเกินไปและจะทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้

ถ้า A = U L U − 1 {\displaystyle A=ULU^{-1}} และ B T = V M V − 1 {\displaystyle B^{T}=VMV^{-1}} อยู่ในรูปแบบบัญญัติจอร์แดน (Jordan canonical form) ของ A {\displaystyle A} และ B T {\displaystyle B^{T}} แล้ว และ λ i {\displaystyle \lambda _{i}} และ μ j {\displaystyle \mu _{j}} คือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของ A {\displaystyle A} และ B T {\displaystyle B^{T}} ตามลำดับ แล้ว เราสามารถเขียนสมการในรูป

I n ⊗ A + B T ⊗ I n = ( V ⊗ U ) ( I n ⊗ L + M ⊗ I n ) ( V ⊗ U ) − 1 . {\displaystyle I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n}=(V\otimes U)(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})(V\otimes U)^{-1}.}

เนื่องจาก ( I n ⊗ L + M ⊗ I n ) {\displaystyle (I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})} คือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (upper triangular) ที่มีสมาชิกตามแนวทแยงเป็น λ i + μ j {\displaystyle \lambda _{i}+\mu _{j}} เมทริกซ์ด้านซ้ายมือจะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ก็ต่อเมื่อ มี i {\displaystyle i} และ j {\displaystyle j} ที่ทำให้ λ i = − μ j {\displaystyle \lambda _{i}=-\mu _{j}} .

ดังนั้น เราสามารถพิสูจน์ว่าสมการซิลเวสเตอร์มีคำตอบที่ไม่ซ้ำ (unique solution) ก็ต่อเมื่อ A {\displaystyle A} และ − B {\displaystyle -B} ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ร่วมกัน