ในวิชาแคลคูลัสของการแปรผัน สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ [1] หรือสมการลากรางจ์ คือ สมการปริพันธ์อันดับสองโดยมีผลเฉลยเป็นฟังก์ชัน stationary ถูกพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ชื่อเลออนฮาร์ด ออยเลอร์และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี่-ฝรั่งเศสชื่อโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ ในปี 1750sเนื่องจากฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (differentiable functional) จะคงที่ ณ บริเวณที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุด สมการออยเลอร์-ลากรางจ์จะมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะที่สุด (optimization) ซึ่งให้ค่าบางอย่าง อาจจะเป็นค่าน้อยสุดหรือมากสุดก็ได้ วิธีการนี้เป็นการอุปไมยจากทฤษฎีบทของแฟร์มาร์ตในแคลคูลัส ซึ่งระบุว่าที่จุดใด ๆ บนฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะนำไปสู่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของบริเวณที่พิจารณา (local extremum) ของฟังก์ชัน จากการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ในกลศาสตร์แบบลากรองจ์ เนื่องจากหลักการของแฮมิลตันที่อนุรักษ์พลังงาน (stationary action) การวิวัฒนาการของระบบฟิสิกส์จึงถูกอธิบายด้วยผลเฉลยของสมการออยเลอร์-ลากรางจ์สำหรับอธิบายแอคชันของระบบ ในกลศาสตร์คลาสสิก (classical mechanics) สมการออยเลอร์-ลากรางจ์สามารถให้ผลเฉลยที่สอดคล้องกับการใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (Newton's laws of motion) แต่ประโยชน์ คือ จะให้รูปแบบสมการสำหรับระบบในระบบพิกัดทั่วไปซึ่งจะสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับระบบพิกัดได้อย่างหลากหลาย ในทฤษฎีสนามคลาสสิก (classical field theory) จะมีรูปแบบสมการของออยเลอร์-ลากรางจ์ที่สามารถใช้คำนวณพลศาสตร์ของสนามได้