นพ.สมศักดิ์ ชุณหรัศมิ์ เกิดเมื่อวันที่ 28 กรกฎาคม พ.ศ. 2496 เป็นบุตรของนายดี ชุณหรัศมิ์ กับนางซุ่นเง็ก แซ่ตั้ง สมรสกับนางอมรรัตน์ ชุณหรัศมิ์ มีบุตร 2 คน เขาจบการศึกษาปริญญาตรีแพทยศาสตร์ จาก Royal Tropical Institute อัมสเตอร์ดัม ประเทศเนเธอร์แลนด์ ประกาศนียบัตรแพทยศาสตร์ศึกษา จากคณะแพทยศาสตร์โรงพยาบาลรามาธิบดี มหาวิทยาลัยมหิดล และระดับปริญญาโทด้านสาธารณสุข จาก Royal Tropical Institute