นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น ครอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.

ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้

ค่าความน่าจะเป็น P {\displaystyle \mathbb {P} } ของเหตุการณ์(event) E {\displaystyle \mathbf {E} } , P ( E ) {\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {E} )} ขึ้นกับ "เอกภพสัมพัทธ์"(universe) หรือ "ปริภูมิของการสุ่ม"(sample space) Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} ของเหตุการณ์พื้นฐาน ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ P {\displaystyle \mathbb {P} } นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น ( Ω , F , P ) {\displaystyle ({\boldsymbol {\Omega }},{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )} นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด P {\displaystyle \mathbb {P} } เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา (σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์ (σ-field) F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} ของทุกสับเซต ของ Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} โดยที่ P ( Ω ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}

หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ

ถ้า Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม

1. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) ที่นิยามบน Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}
2. สำหรับทุกๆ A {\displaystyle \mathbf {A} } ใน F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} ค่าความน่าจะเป็น P ( A ) {\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {A} )} จะนิยามเป็นฟังก์ชันจำนวนจริง และมีค่าไม่เป็นจำนวนลบ บน F {\displaystyle {\mathfrak {F}}}
3. P ( Ω ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}
4. ถ้า A {\displaystyle \mathbf {A} } และ B {\displaystyle \mathbf {B} } เป็นสองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวเนื่องกัน (disjoint events) แล้ว P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) {\displaystyle \mathbb {P} (\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )=\mathbb {P} (\mathbf {A} )+\mathbb {P} (\mathbf {B} )}
5. (สมมติฐานความต่อเนื่อง หรือ ความสมบูรณ์ของการบวก (σ-field)) ถ้า A 1 , A 2 , … , A n , … {\displaystyle \mathbf {A_{1},A_{2},} \ldots \mathbf {,A_{n},} \ldots } เป็นลำดับของเหตุการณ์ใน F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} โดยที่ A 1 ⊃ A 2 ⊃ … ⊃ A n ⊃ … {\displaystyle \mathbf {A_{1}} \supset \mathbf {A_{2}} \supset \ldots \supset \mathbf {A_{n}} \supset \ldots } แล้ว
   • ⋂ n A n = ∅ {\displaystyle \bigcap _{n}\mathbf {A_{n}} =\varnothing }
   • ซึ่งก็คือ lim n → ∞ P ( A n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (\mathbf {A_{n}} )=0}

และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า P ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ P ( A n ) {\displaystyle P(\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbf {A_{n}} )=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n})}

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามีเหตุการณ์ A {\displaystyle \mathbf {A} } ใดๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (\mathbf {A} )\leq 1} และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด P ( Ω ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} ({\boldsymbol {\Omega }})=1}

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ ปริภูมิของเหตุการณ์ (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้ โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่นๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\{1,2,3,4,5,6\}}

• เหตุการณ์ของการโยนออกแต้มเลขคี่ คือ { 1 , 3 , 5 } = { 1 } ∪ { 3 } ∪ { 5 } {\displaystyle \{1,3,5\}=\{1\}\cup \{3\}\cup \{5\}}
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 คือ { 1 , 2 , 3 } = { 1 } ∪ { 2 } ∪ { 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}=\{1\}\cup \{2\}\cup \{3\}}
• เหตุการณ์ของการออกแต้มไม่น้อยกว่า 4 คือ { 1 , 2 , 3 } c = { 4 , 5 , 6 } {\displaystyle \{1,2,3\}^{c}=\{4,5,6\}}
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 และ เป็นเลขคี่ คือ { 1 , 3 , 5 } ∩ { 1 , 2 , 3 } = { 1 , 3 } {\displaystyle \{1,3,5\}\cap \{1,2,3\}=\{1,3\}}
• เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 หรือ เป็นเลขคี่ คือ { 1 , 3 , 5 } ∪ { 1 , 2 , 3 } = { 1 , 2 , 3 , 5 } {\displaystyle \{1,3,5\}\cup \{1,2,3\}=\{1,2,3,5\}}

เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต

ตัวอย่าง พิจารณา Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\{1,2,3,4\}} หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \mathbf {A} =\{1,2,3\}} และ B = { 3 , 4 } {\displaystyle \mathbf {B} =\{3,4\}} ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ ฟิลด์ ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ

∅ A ∩ B = { 3 } A c ∩ B = { 4 } B c = A ∩ B c = { 1 , 2 } B = { 3 , 4 } A = { 1 , 2 , 3 } Ω {\displaystyle \emptyset \quad \mathbf {A} \cap \mathbf {B} =\{3\}\quad \mathbf {A} ^{c}\cap \mathbf {B} =\{4\}\quad \mathbf {B} ^{c}=\mathbf {A} \cap \mathbf {B} ^{c}=\{1,2\}\quad \mathbf {B} =\{3,4\}\quad \mathbf {A} =\{1,2,3\}\quad {\boldsymbol {\Omega }}}

สังเกตว่า เหตุการณ์ { 1 } {\displaystyle \{1\}} และ { 2 } {\displaystyle \{2\}} นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้

ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย ซิกมาฟิลด์ ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด