สุเชาว์ นุชนุ่มได้เริ่มเล่นฟุตบอลอาชีพให้กับทีโอที โดยการชักชวนของพงษ์พันธุ์ วงศ์สุวรรณ ต่อมาในเดือนพฤศจิกายน พ.ศ. 2552 สุเชาว์ได้เซ็นสัญญาย้ายไปร่วมทีมเปอร์ซิบ บันดุง ในลีกอินโดนีเซียด้วยสัญญายืมตัวเป็นเวลา 4 เดือน หลังจากหมดสัญญายืมตัวแล้ว สุเชาว์ได้ย้ายมาร่วมทีมบุรีรัมย์ ยูไนเต็ด ในฤดูกาล 2553

บุรีรัมย์ ยูไนเต็ด

ฤดูกาล 2562

ในวันที่ 2 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2562 ไทยแลนด์แชมเปียนส์คัพ นัดชิงชนะเลิศ บุรีรัมย์ ยูไนเต็ด แชมป์ไทยลีก ฤดูกาล 2561 เจอกับ สิงห์ เชียงราย ยูไนเต็ด แชมป์ช้าง เอฟเอคัพ 2561 ที่สนามกีฬากองทัพบกในกรุงเทพมหานคร สุเชาว์ลงเล่นเป็นตัวจริงในนัดนั้น สุดท้าย บุรีรัมย์ แซงเอาชนะ สิงห์ เชียงราย 3–1 ช่วยให้บุรีรัมย์คว้าแชมป์ไทยแลนด์แชมเปียนส์คัพ สมัยแรก ได้สำเร็จ[3] ต่อมาในวันที่ 18 กันยายน พ.ศ. 2562 ช้าง เอฟเอคัพ รอบรองชนะเลิศ ที่สนามกีฬาเฉลิมพระเกียรติ 72 พรรษา (มีนบุรี) สุเชาว์ได้กลับมาลงเล่นให้กับสโมสรในรอบ 4 เดือน ในนัดที่บุรีรัมย์พ่ายแพ้ต่อ ราชบุรี มิตรผล 1–2 ยุติเส้นทางใน ช้าง เอฟเอคัพ เพียงเท่านี้[4] ต่อมาในวันที่ 28 กันยายน พ.ศ. 2562 โตโยต้า ลีกคัพ รอบชิงชนะเลิศ บุรีรัมย์พบกับ พีที ประจวบ ที่เอสซีจีสเตเดียมในจังหวัดนนทบุรี สุเชาว์ลงเล่นเป็นตัวสำรองแทน นฤบดินทร์ วีรวัฒโนดม ผลจบลงด้วยการเสมอ 1–1 ในเวลา 120 นาที ต้องตัดสินด้วยการยิงลูกโทษ สุเชาว์ เป็นคนยิงคนที่ 5 และเขาก็ยิงเข้าไปได้ แต่สุดท้าย บุรีรัมย์พ่ายแพ้ประจวบในช่วงลูกโทษ 7–8 ผลประตูรวม 8–9 พลาดโอกาสคว้าแชมป์ โตโยต้า ลีกคัพ อย่างน่าเสียดาย[5]

ในวันที่ 26 พฤศจิกายน พ.ศ. 2562 สุเชาว์ ได้โพสต์อำลาสโมสรบนเฟซบุ๊ก เป็นการยุติการลงเล่นตลอด 10 ปีให้กับบุรีรัมย์ ยูไนเต็ด[6]