อลงกต มณีกาศ รับราชการเป็นแพทย์ จนได้รับตำแหน่งเป็นผู้อำนวยการโรงพยาบาลปลาปาก ต่อมาจึงได้หันเหเข้ามาทำงานการเมือง โดยได้รับการเลือกตั้งเป็นสมาชิกสภาผู้แทนราษฎร จังหวัดนครพนม สังกัดพรรคเพื่อแผ่นดิน และยังเป็นโฆษกพรรคเพื่อแผ่นดินอีกด้วย[1] ต่อมาได้ตัดสินใจลงสมัคร ส.ส. ในการเลือกตั้ง พ.ศ. 2554 สังกัดพรรคชาติไทยพัฒนา[2]

ใน พ.ศ. 2561 นายแพทย์อลงกตได้ย้ายมาสังกัด พรรคพลังประชารัฐ[3] เขาลงสมัครรับเลือกตั้งในพื้นที่จังหวัดนครพนมในการเลือกตั้งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรไทยเป็นการทั่วไป พ.ศ. 2562 แต่ไม่ได้รับเลือกตั้ง[4] ต่อมาได้เข้าร่วมงานกับพรรคภูมิใจไทย และได้รับแต่งตั้งเป็นรองนายกองค์การบริหารส่วนจังหวัดนครพนม