การตีความหมายเชิงเรขาคณิตของสูตรของออยเลอร์

ออยเลอร์มีผลงานในแทบทุกสาขาของวิชาคณิตศาสตร์ เช่น เรขาคณิต แคลคูลัส ตรีโกณมิติ พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน เป็นต้น เช่นเดียวกับแวดวงฟิสิกส์ เช่น ผลงานเรื่องกลศาสตร์ความต่อเนื่อง ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ เป็นต้น ออยเลอร์ถือว่าเป็นบุคคลสำคัญคนหนึ่งในประวัติศาสตร์แห่งคณิตศาสตร์

ออยเลอร์ได้รับการตั้งเป็นชื่อของจำนวน 2 จำนวน อันได้แก่ จำนวนของออยเลอร์ (e) ซึ่งมีค่าประมาณ 2.71828 และ ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี (γ) มีค่าประมาณ 0.57721

ตัวอย่างสูตรคณิตศาสตร์ที่ออยเลอร์คิดค้น

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).} ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 ) = π 2 6 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.} e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ . {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .\,} — สูตรของออยเลอร์ : สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,} — เอกลักษณ์ของออยเลอร์ : เป็นกรณีหนึ่งของสูตรออยเลอร์ ( φ = π {\displaystyle \varphi =\pi } ) โดยแสดงค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ถึง 5 อย่าง (ได้แก่ e, i, π, 1, 0)

เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์

ออยเลอร์เป็นผู้นำเสนอข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์จำนวนมากผ่านผลงานของเขา จนเกิดการนิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย ตัวอย่างที่เด่นชัดที่สุดคือ เขาเป็นผู้เสนอความคิดรวบยอดเรื่องฟังก์ชัน[1] และใช้สัญลักษณ์ f(x) เป็นครั้งแรก ซึ่งมีความหมายว่า ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่ใช้เข้ากับตัวแปร (อาร์กิวเมนต์) x นอกจากนี้ ออยเลอร์ยังคิดค้นเครื่องหมายตรีโกณมิติที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน ใช้อักษร e แทนฐานของลอการิทึมธรรมชาติ (ในปัจจุบัน e มีชื่อว่าจำนวนของออยเลอร์) ใช้อักษรกรีก Σ (ซิกมา) แทนสัญกรณ์ผลรวมจากการบวกของเซตจำนวน และใช้อักษร i แทนหน่วยจินตภาพ[2] เป็นต้น นอกจากนี้ ออยเลอร์ยังใช้อักษรกรีก π ที่แสดงถึงอัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใด ๆ ซึ่งเป็นผลให้เกิดความนิยมใช้กันอย่างแพร่หลาย แม้ว่าเขาจะไม่ได้เป็นผู้ริเริ่มใช้ก็ตาม[3]