การดำเนินการทางพีชคณิต

หลายคนอาจคิดว่า การพิสูจน์ข้างต้นมีข้อผิดพลาดที่สูตรของอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า

x = 0.999 … 10 x − x = 9.999 … − 0.999 … 9 x = 9 x = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.999\ldots \\10x-x&=9.999\ldots -0.999\ldots \\9x&=9\\x&=1\\\end{aligned}}}

หรือง่ายกว่านี้ :

0.333 … = 1 3 3 × 0.333 … = 3 × 1 3 = 3 × 1 3 0.999 … = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}0.333\dots &{}={\frac {1}{3}}\\3\times 0.333\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0.999\dots &{}=1\end{aligned}}}

0.111 … = 1 9 9 × 0.111 … = 9 × 1 9 = 9 × 1 9 0.999 … = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}0.111\dots &{}={\frac {1}{9}}\\9\times 0.111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0.999\dots &{}=1\end{aligned}}}

หรือ

N = 0.999... − ( 1 ) 10 N = 9.999... − ( 2 ) ( 2 ) − ( 1 ) ; 10 N − N = 9.999... − 0.999... 9 N = 9 N = 9 9 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}N&=0.999...-(1)\\10N&=9.999...-(2)\\(2)-(1);10N-N&=9.999...-0.999...\\9N&=9\\N&={\frac {9}{9}}=1\\\end{aligned}}}

สมบัติของจำนวนจริง

การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้าหาก 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999..., 1) อยู่เป็นจำนวนอนันต์ แต่ในความเป็นจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานที่ว่า 0.999... กับ 1 แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน

เศษส่วน

เมื่อหารเลขโดดด้วย 9 มันจะได้ทศนิยมซ้ำของจำนวนนั้น

1 / 9 = 0.111 … 2 / 9 = 0.222 … 3 / 9 = 0.333 … ⋮ ⋮ 9 / 9 = 0.999 … = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}1/9&=0.111\ldots \\2/9&=0.222\ldots \\3/9&=0.333\ldots \\\vdots &\qquad \vdots \\9/9&=0.999\ldots =1\\\end{aligned}}}

แต่ว่า การหารด้วยตัวเอง จะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้น 0.999... = 1