ความเค้นของแท่งยาวสม่ำเสมอ

แท่งวัสดุยืดหยุ่นนั้นสามารถมองว่าเป็นสปริงได้ สำหรับแท่งยาว L {\displaystyle L} และพื้นที่หน้าตัด A {\displaystyle A} ความเค้น σ {\displaystyle \sigma } นั้นจะแปรผันตรงกับความเครียด ϵ {\displaystyle \epsilon } โดยมีมอดูลัสของยัง E {\displaystyle E} เป็นค่าคงที่ของการแปรผัน{\displaystyle \sigma =E\varepsilon }.

σ = E ε {\displaystyle \sigma =E\varepsilon }

ซึ่งมอดูลัสของยังนั้นสามารถมองว่าเป็นค่าคงที่ได้ ความเครียด

ε = Δ L L {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}

(ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของความยาวที่เปลี่ยนไป) และความเค้น

σ = F A {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}

จึงได้ว่า

ε = σ E = F A E {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}}

และความยาวที่เปลี่ยนไปสามารถเขียนได้เป็น

Δ L = ε L = F L A E {\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}}

ซึ่งตรงกับกฎของฮุก

F = ε L = A E L Δ L = k Δ L {\displaystyle F=\varepsilon L={\frac {AE}{L}}\Delta L=k\Delta L}

พลังงานของสปริง

พลังงานศํกย์ที่สะสมในสปริง Uel(x) มีค่าเท่ากับ

U e l ( x ) = ∫ F d x = ∫ k x d x = 1 2 k x 2 {\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)=\int Fdx=\int kxdx={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}

ซึ่งมาจากการค่อย ๆเพิ่มพลังงานที่ได้จากการหดสปริงทีละเล็กทีละน้อย ซึ่งทำได้โดยอินทิเกรตแรงเทียบกับระยะทาง พลังงานศักย์สปริงมีค่าเป็นบวกเสมอเพราะแรงภายนอกที่ต้องใช้ในการดึงสปริงนั้นมีทิศเดียวกับการกระจัดของสปริง

การสั่นแบบฮาร์มอนิก

See also: การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

มวลแขวนบนสปริงเป็นตัวยอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

มวลแขวนกับสปริงเป็นตัวอย่างคลาสสิกของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อมวลถูกดึงแล้วปล่อยระบบจะสั่นไปมารอบ ๆจุดสมดุล ถ้าเราสมมุติว่าไม่มีแรงเสียดทานและมวลของสปริง แอมพลิจูดของการสั่นจะคงที่ และความถี่ในการสั่นจะไม่ขึ้นกับแอมพลิจูดแต่จะขึ้นกับเพียงแค่ค่าคงที่ของสปริงและมวล:

f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}

การเคลื่อนที่แบบหมุน

ถ้ามวล m {\displaystyle m} ถูกแขวนกับสปริงที่มีค่าคงที่ k {\displaystyle k} และถูกเหวี่ยงให้หมุนเป็นวงกลม แรงคืนตัวของสปริง( F s {\displaystyle F_{s}} )จะทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง( F c {\displaystyle F_{c}} ):

F s = k x ; F c = m ω 2 r {\displaystyle F_{\mathrm {s} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}

ดังนั้น F s = F c {\displaystyle F_{\mathrm {s} }=F_{c}} และ x = r {\displaystyle x=r} ทำให้

k = m ω 2 {\displaystyle k=m\omega ^{2}}

จากความสัมพันธ์ ω = 2πf, ความถี่ในการหมุนจึงมีสูตรเดียวกับความถี่ในการสั่นของสปริง

f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}