นับตั้งแต่ฤดูใบไม้ร่วงปี 2002 เพเรลแมนเป็นที่รู้จักในฐานะผู้เชี่ยวชาญทฤษฎีบทเปรียบเทียบ (Comparison theorem) ของเรขาคณิตเรแมนเนียน และเป็นคนแรกที่สามารถพิสูจน์ว่า "การคาดการณ์ของปวงกาเร" นั้นเป็นจริง

การคาดการณ์ของปวงกาเร เป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงแห่งศตวรรษ ถูกเสนอขึ้นโดย อองรี ปวงกาเร (Henri Poincaré) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเมื่อ ค.ศ. 1904 โดยให้นิยามว่า "ในโลกสามมิติ ห่วงใดๆ บนทรงกลมสามารถหดลงจนเหลือเป็นจุดได้" แต่ก็ไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง เพราะปัญหานี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่ออยู่ในมิติที่สูงขึ้นไป แต่ในโลกสามมิติจะไม่สามารถทำได้

ปี ค.ศ. 1999 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ได้ประกาศว่าจะให้รางวัล "มิลเลนเนียม ไพรซ์" เป็นเงินหนึ่งล้านดอลลาร์กับผู้ที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าการคาดการณ์นี้เป็นจริง ถ้าหากปัญหานี้ได้รับการพิสูจน์ ก็จะเป็นความสำเร็จของวงการคณิตศาสตร์เลยทีเดียว

จนกระทั่งเดือนพฤศจิกายน ค.ศ. 2002 เพเรลมานก็สามารถพิสูจน์ได้ โดยใช้โปรแกรมของริชาร์ด แฮมิลตัน ที่อาศัยหลักการไหลของริกกี้ (Ricci flow) ในการพิสูจน์ โดยการสร้าง "ท่อ" (manifold) ที่ไม่มีขอบขึ้นมาอันหนึ่ง แล้วทำให้ท่อกลายเป็นแผ่นกลมแบนหลายแผ่นโดยมีเกลียวเชื่อมต่อกัน จากนั้นก็ตัดเกลียวออกจนได้ทรงกลมสามมิติหลายอัน สุดท้าย เขาก็สร้างท่อขึ้นมาอีกครั้งโดยเชื่อมต่อทรงกลมเหล่านั้นด้วยทรงกระบอกสามมิติ พบว่าห่วงบนทรงกลมสามมิตินั้นสามารถหดลงเป็นจุดได้โดยไม่ต้องหลุดออกมาจากพื้นผิว และท่อใดๆ ที่สามารถทำให้ห่วงบนตัวมันสามารถหดลงเป็นจุดได้คือทรงกลมสามมิติ

เพื่อความเข้าใจที่ง่ายขึ้น เพเรลมานได้อธิบายโดยอาศัยหลักการของฟองสบู่ เมื่อเป่าฟองสบู่เป็นรูปท่อ พื้นที่ของฟองสบู่จะน้อยลงกว่าตอนที่มันเป็นทรงกลม นั่นคือรูปร่างของท่อตามหลักการไหลของริกกี้ เข้าใจว่า ถ้าท่อของริกกี้นั้นบิดเบี้ยวจนเป็นทรงกลม ห่วงที่คล้องท่ออยู่นั้นจะหดลงเป็นจุด นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต้องใช้เวลาถึง 3 ปีถึงจะพิสูจน์ได้ว่าคำตอบของเพเรลมานนั้นเป็นจริง