อันดับของกรุปและสมาชิก

อันดับของกรุป G นิยมเขียนเขียนแทนด้วย |G| หรือ o(G) หมายถึงจำนวนสมาชิกในเซต G ถ้าอันดับเป็นจำนวนไม่จำกัด กรุปนั้นเป็นกรุปอนันต์ เขียนว่า |G| = ∞

อันดับของสมาชิก a ในกรุป G คือจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ an = e โดยที่ an คือ a คูณตัวมันเอง n ครั้ง (หรือองค์ประกอบที่เหมาะสมอื่นๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการของกรุป) ถ้า n ไม่ปรากฏ จะเรียกได้ว่า a มีอันดับเป็นอนันต์

ควร G

อาบีเลียนกรุป

กรุป G เรียกได้ว่าเป็น อาบีเลียนกรุป (หรือกรุปสลับที่) ถ้าการดำเนินการเป็นแบบสลับที่ได้ คือสำหรับทุกๆ a,b ใน G , a * b = b * aคำว่า อาบีเลียน (Abelian) ตั้งขึ้นเป็นเกียรติแด่นักคณิตศาสตร์ นีลส์ อะเบล (Niels Abel)

กรุปวัฏจักร

กรุปวัฏจักร คือกรุปซึ่งสมาชิกของมันอาจถูกก่อกำเนิดโดยการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปจะถูกใช้กับสมาชิกเดี่ยวของกรุปนั้น สมาชิกเดี่ยวนี้เรียกว่า ตัวก่อกำเนิดหรือสมาชิกปฐมฐานของกรุปนั้น

กรุปวัฏจักรการคูณซึ่ง G เป็นกรุป และ a เป็นตัวก่อกำเนิด

G = { a n ∣ n ∈ Z } {\displaystyle G=\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}

กรุปวัฏจักรการบวก ตัวก่อกำเนิกเป็น a

G ′ = { n ∗ a ∣ n ∈ Z } {\displaystyle G'=\{n*a\mid n\in \mathbb {Z} \}}

ถ้าการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปถูกใช้กับสมาชิกไม่ปฐมฐานของกรุป กรุปย่อยวัฏจักรจะถูกก่อกำเนิด อันดับของกรุปย่อยวัฏจักรแบ่งอันดับของกรุปนั้น ดังนั้นถ้าอันดับของกรุปเป็นจำนวนเฉพาะ สมาชิกทุกตัวยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์จะเป็นสามชิกปฐมฐานของกรุป

ควรระลึกไว้ด้วยว่า กรุปประกอบด้วยกรุปย่อยวัฏจักรซึ่งถูกก่อกำเนิดโดยสมาชิกแต่ละตัวในกรุป อย่างไรก็ตามกรุปซึ่งประกอบขึ้นจากกรุปย่อยวัฏจักรนั้น ตัวมันเองไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นกรุปวัฏจักรเสมอไป ตัวอย่างเช่น กรุปไคลน์ไม่เป็นกรุปวัฏจักรแม้ว่าจะประกอบขึ้นมาจากกรุปวัฏจักรที่มีอันดับเป็น 2 ที่เหมือนกันสองกรุปก็ตามที