ผลคูณของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้

∏ i = 0 n a r i = ( a 1 ⋅ a n + 1 ) n + 1 {\displaystyle \prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n+1}}}\right)^{n+1}} เมื่อ a , r > 0 {\displaystyle a,r>0} พิสูจน์

กำหนดให้ผลคูณของการก้าวหน้าเลขคณิตแทนด้วย P

P = a ⋅ a r ⋅ a r 2 ⋯ a r n − 1 ⋅ a r n {\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}

รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้

P = a n + 1 r 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( n − 1 ) + n {\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}

นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ r

P = a n + 1 r n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}} P = ( a r n 2 ) n + 1 {\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

P 2 = ( a 2 r n ) n + 1 = ( a ⋅ a r n ) n + 1 {\displaystyle P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}}

และในที่สุดก็จะได้

P 2 = ( a 1 ⋅ a n + 1 ) n + 1 {\displaystyle P^{2}=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{n+1}} P = ( a 1 ⋅ a n + 1 ) n + 1 2 {\displaystyle P=(a_{1}\cdot a_{n+1})^{\frac {n+1}{2}}}