เมนูนำทาง
การแปลงลาปลาส
กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลาสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:
f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}} g ( t ) = L − 1 { G ( s ) } {\displaystyle g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}}ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):
| โดเมนเวลา | โดเมน 's' | หมายเหตุ | |
|---|---|---|---|
| ภาวะเชิงเส้น (Linearity) | a f ( t ) + b g ( t ) {\displaystyle af(t)+bg(t)\ } | a F ( s ) + b G ( s ) {\displaystyle aF(s)+bG(s)\ } | สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ (ปริพันธ์ผลบวกเท่ากับ ปริพันธ์ขององค์ประกอบย่อยของผลบวกนั้น) |
| อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) | t f ( t ) {\displaystyle tf(t)\ } | − F ′ ( s ) {\displaystyle -F'(s)\ } | F ′ {\displaystyle F'\,} เป็นอนุพันธอันดับแรกของ F {\displaystyle F\,} . |
| อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) | t n f ( t ) {\displaystyle t^{n}f(t)\ } | ( − 1 ) n F ( n ) ( s ) {\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ } | รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ nth ของ F(s) |
| อนุพันธ์ (Differentiation) | f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)\ } | s F ( s ) − f ( 0 ) {\displaystyle sF(s)-f(0)\ } | สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธได้ (differentiable function) |
| อนุพันธอันดับสอง (Differentiation) | f ″ ( t ) {\displaystyle f''(t)\ } | s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\ } | สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับสอง |
| อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation) | f ( n ) ( t ) {\displaystyle f^{(n)}(t)\ } | s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\ } | สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับ n ใดๆ |
| ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration) | f ( t ) t {\displaystyle {\frac {f(t)}{t}}\ } | ∫ s ∞ F ( σ ) d σ {\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ } | |
| ปริพันธ์ Integration | ∫ 0 t f ( τ ) d τ = ( u ∗ f ) ( t ) {\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)} | 1 s F ( s ) {\displaystyle {1 \over s}F(s)} | u ( t ) {\displaystyle u(t)} คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ ( u ∗ f ) ( t ) {\displaystyle (u*f)(t)} คือสังวัตนาการ (convolution) ของ u ( t ) {\displaystyle u(t)} และ f ( t ) {\displaystyle f(t)} |
| การขยายเชิงเวลา (Time scaling) | f ( a t ) {\displaystyle f(at)\ } | 1 | a | F ( s a ) {\displaystyle {\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)} | |
| การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting) | e a t f ( t ) {\displaystyle e^{at}f(t)\ } | F ( s − a ) {\displaystyle F(s-a)\ } | |
| การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting) | f ( t − a ) u ( t − a ) {\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ } | e − a s F ( s ) {\displaystyle e^{-as}F(s)\ } | u ( t ) {\displaystyle u(t)} คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) |
| การคูณ (Multiplication) | f ( t ) g ( t ) {\displaystyle f(t)g(t)\ } | 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T F ( σ ) G ( s − σ ) d σ {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ } | การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง R e ( σ ) = c {\displaystyle Re(\sigma )=c} ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F |
| สังวัตนาการ (Convolution) | ( f ∗ g ) ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } | F ( s ) ⋅ G ( s ) {\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ } | ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0 |
| สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Complex conjugation) | f ∗ ( t ) {\displaystyle f^{*}(t)} | F ∗ ( s ∗ ) {\displaystyle F^{*}(s^{*})} | |
| สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation) | f ( t ) ⋆ g ( t ) {\displaystyle f(t)\star g(t)} | F ∗ ( − s ∗ ) ⋅ G ( s ) {\displaystyle F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)} | |
| ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function) | f ( t ) {\displaystyle f(t)\ } | 1 1 − e − T s ∫ 0 T e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt} | f ( t ) {\displaystyle f(t)} เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ T {\displaystyle T} กล่าวคือ f ( t ) = f ( t + T ) , ∀ t ≥ 0 {\displaystyle f(t)=f(t+T),\;\forall t\geq 0} เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต |
เมนูนำทาง
การแปลงลาปลาสใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: การแปลงลาปลาส