การแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสอง

พหุนามกำลังสองใดๆ บนจำนวนเชิงซ้อน (คือพหุนามที่อยู่ในรูป a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} เมื่อ a , b , c ∈ C {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} } ) สามารถแยกตัวประกอบให้เป็นนิพจน์ที่อยู่ในรูป a ( x − α ) ( x − β ) {\displaystyle a(x-\alpha )(x-\beta )\!} เมื่อ α {\displaystyle \alpha } และ β {\displaystyle \beta } คือรากของพหุนาม ซึ่งคำนวณได้จากสูตรกำลังสองดังนี้

a x 2 + b x + c = a ( x − α ) ( x − β ) = a ( x − ( − b + b 2 − 4 a c 2 a ) ) ( x − ( − b − b 2 − 4 a c 2 a ) ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-\left({\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\right)\left(x-\left({\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\right)}

พหุนามที่สามารถแยกได้บนจำนวนเต็ม

บางครั้งพหุนามกำลังสองสามารถแยกออกได้เป็นทวินาม (binomial) สองตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยไม่จำเป็นต้องใช้สูตรกำลังสองในการคำนวณ ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการหารากของสมการกำลังสอง โดยที่พหุนาม

a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\!}

สามารถแยกได้เป็น

( m x + p ) ( n x + q ) {\displaystyle (mx+p)(nx+q)\!}

เมื่อ

m n = a {\displaystyle mn=a\!} p q = c {\displaystyle pq=c\!} p n + m q = b {\displaystyle pn+mq=b\!}

จากนั้นจึงให้ทวินามแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ แล้วคำนวณหาค่าของ x เพื่อหารากของสมการกำลังสอง

ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์

แผนภาพที่พิสูจน์ว่า
(a+b) ² = a²+2ab+b²

พหุนามกำลังสองบางชนิดสามารถแยกตัวประกอบออกได้เป็นทวินามที่เหมือนกัน พหุนามนั้นเรียกว่า ไตรนามกำลังสองสมบูรณ์ หรือเพียงแค่ กำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งพหุนามดังกล่าวสามารถแยกได้ดังนี้

( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}} ( a − b ) 2 = ( a − b ) ( a − b ) = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}}

ผลบวกและผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบทางพีชคณิตอีกอย่างหนึ่งเรียกว่า ผลต่างกำลังสอง มีสูตรดังนี้

a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\!}

ซึ่งเป็นจริงสำหรับทั้งสองพจน์ ไม่ว่าจำนวนเหล่านั้นจะเป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ ถ้าพจน์ทั้งสองลบกัน ก็ให้แทนด้วยสูตรดังกล่าวได้ทันที แต่ถ้าพจน์ทั้งสองบวกกัน ทวินามที่ได้จากการแยกตัวประกอบจะต้องมีจำนวนจินตภาพเข้ามาเกี่ยวข้อง ซึ่งแสดงได้ดังนี้

a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\!}

ตัวอย่างเช่น 4 x 2 + 49 {\displaystyle 4x^{2}+49} สามารถแยกได้เป็น ( 2 x + 7 i ) ( 2 x − 7 i ) {\displaystyle (2x+7i)(2x-7i)} เป็นต้น

การแยกตัวประกอบพหุนามอื่น ๆ

ผลบวกและผลต่างกำลังสาม

สูตรสำหรับการแยกตัวประกอบของผลบวกและผลต่างกำลังสามเป็นดังนี้ผลบวกและผลต่างสามารถแยกตัวประกอบเป็น

a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\!} a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\!}

เช่น x3 − 103 (or x3 − 1000) สามารถแยกตัวประกอบเป็น (x − 10)(x2 + 10x + 100)