รูปแบบของผลเฉลยจะพบว่ามี x r {\displaystyle x^{r}} ค่าหนึ่งคูณเข้าไปในอนุกรมกำลังทำให้ A 0 {\displaystyle A_{0}} ไม่ได้เป็นสัมประสิทธิ์ของ x 0 {\displaystyle x^{0}} รูปแบบอนุกรมเป็นดังนี้

u ( z ) = ∑ k = 0 ∞ A k z k + r {\displaystyle u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}

เมื่อหาอนุพันธ์ของอนุกรมทั้งอันดับหนึ่งและอันดับสองจะได้

u ′ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + r ) A k z k + r − 1 {\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}} u ″ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 ) ( k + r ) A k z k + r − 2 {\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}

เมื่อแทนค่าแล้วจะได้

z 2 ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 ) ( k + r ) A k z k + r − 2 + z p ( z ) ∑ k = 0 ∞ ( k + r ) A k z k + r − 1 + q ( z ) ∑ k = 0 ∞ A k z k + r {\displaystyle z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}} = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 ) ( k + r ) A k z k + r + p ( z ) ∑ k = 0 ∞ ( k + r ) A k z k + r + q ( z ) ∑ k = 0 ∞ A k z k + r {\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}} = ∑ k = 0 ∞ ( k + r − 1 ) ( k + r ) A k z k + r + p ( z ) ( k + r ) A k z k + r + q ( z ) A k z k + r {\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}} = ∑ k = 0 ∞ ( ( k + r − 1 ) ( k + r ) + p ( z ) ( k + r ) + q ( z ) ) A k z k + r {\displaystyle =\sum _{k=0}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}} = ( r ( r − 1 ) + p ( 0 ) r + q ( 0 ) ) A 0 z r + ∑ k = 1 ∞ ( ( k + r − 1 ) ( k + r ) + p ( z ) ( k + r ) + q ( z ) ) A k z k + r {\displaystyle =(r(r-1)+p(0)r+q(0))A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_{k}z^{k+r}}

เมื่อจัดพจน์แล้วเราพบว่าทั้งอนุกรมนี้จะให้คำตอบเท่ากับศูนย์ทุกๆค่า x {\displaystyle x} ดังนั้นสัมประสิทธิ์แต่ละตัวของ x n {\displaystyle x^{n}} จะต้องเป็นศูนย์ด้วยสำหรับส่วนที่เกินขึ้นมานอก ∑ {\displaystyle \sum } เป็นส่วนที่ใช้หาค่า r โดยเฉพาะ โดยการแทนค่าเพื่อหาค่า r ที่ทำให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นศูนย์โดยที่ A 0 {\displaystyle A_{0}} ไม่เท่ากับศูนย์ ส่วนใน ∑ {\displaystyle \sum } จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดซึ่งใช้หา A n {\displaystyle A_{n}} ต่อไป