การแกว่งของลูกตุ้ม ด้วยความเร็วและความเร่งที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่งสัมพันธ์กับความเร่งสู่ศูนย์กลางกับความสัมพันธ์แทนเจนต์

ความเร็วของการเคลื่อนที่บนเส้นโค้งของฟังก์ชันเวลาจะเขียนได้ว่า :

v ( t ) = v ( t ) v ( t ) v ( t ) = v ( t ) u t ( t ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t)}

เมื่อ v(t) เท่ากับความเร็วทั้งหมด และ

u t = v ( t ) v ( t )   {\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\ }

คือหน่วยของเวกเตอร์แทนเจนต์ที่มุ่งไปยังทิศทางการเคลื่อนที่ในแต่ละช่วงเวลาต่าง ๆ

ส่วนประกอบของความเร่งส่วนโค้ง ตัวประกอบเชิงแทนเจนต์ at ซึ่งเปลี่ยนไปตามอัตราเร็วเฉลี่ย และจุดที่ไปตามเส้นโค้ง เป็นเวกเตอร์ของความเร็ว (หรือในทิศทางตรงกันข้าม) ตัวประกอบปกติ (หรือเรียกว่าตัวประกอบสู่ศูนย์กลางของการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง) ส่วน ac เปลี่ยนไปตามทิศทางเวกเตอร์ของความเร็ว และการเคลื่อนที่โพรเจกไทล์ปกติ จะมีทิศทางออกจากศูนย์กลางของเส้นโค้ง

โดยจะอธิบายได้ว่า การเปลี่ยนแปลงของทั้งอัตราเร็ว v(t) และทิศทางของ ut สามารถแสดงถึงการเคลื่อนที่แบบเส้นโค้ง โดยใช้ความแตกต่างของกฎลูกโซ่ ผลลัพธ์ของฟังก์ชันเวลาทั้งสองฟังก์ชันจะได้ว่า :

a = d v d t = d v d t u t + v ( t ) d u t d t = d v d t u t + v 2 r u n   {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ \\\end{alignedat}}}

เมื่อ ut เป็นหน่วย (สู่ศูนย์กลาง) เวกเตอร์แนวฉากต่อส่วนของเส้นโคจร (หรือแนวฉากมุขสำคัญ[1]) และ r คือเส้นเฉียดโค้ง (instantaneous radius of curvature) ซึ่งอิงวงกลมความโค้ง (osculating circle) ณ เวลา t ตัวประกอบของสมการพวกนี้เรียกว่า ความเร่งเชิงแทนเจนต์, ความเร่งปกติ และความเร่งของวัตถุในแนวรัศมี