ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าจำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น x1 ด้วยความน่าจะเป็น p1,มีโอกาสมีค่าเป็น x2 ด้วยความน่าจะเป็น p2, ... , มีโอกาสมีค่าเป็น xk ด้วยความน่าจะเป็น pk แล้วค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม X จะถูกนิยามได้เป็น

E ⁡ [ X ] = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x k p k . {\displaystyle \operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\ldots +x_{k}p_{k}\;.} An illustration of the convergence of die roll sequence averages to the expected value of 3.5 as the number of rolls (trials) grows.

ตัวอย่างที่ 1. ให้ X เป็นตัวแปรสุ่มแทนหน้าที่ออกจากการทอยลูกเต๋า ค่าที่เป็นไปได้ของ X คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6, โดยแต่ละค่ามีโอกาสออกได้เท่า ๆ กัน (แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น 1/6) ค่าคาดหมายของ X คือ

E ⁡ [ X ] = 1 ⋅ 1 6 + 2 ⋅ 1 6 + 3 ⋅ 1 6 + 4 ⋅ 1 6 + 5 ⋅ 1 6 + 6 ⋅ 1 6 = 3.5. {\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}

ดังนั้นถ้าเราทอยลูกเต๋า n ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ย ของหน้าที่ออกแล้ว ค่าเฉลี่ยนี้จะลู่เข้าสู่ค่าคาดหมายเมื่อ n ใหญ่ขึ้น

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าไม่จำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น x
1, x
2, ... ด้วยความน่าจะเป็น p
1, p
2, ... ตามลำดับค่าคาดหมายของ X จะนิยายได้ว่า

E ⁡ [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i , {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},}

ถ้าค่าของอนุกรมนี้ไม่เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ จะเรียกว่า ค่าคาดหมายของ X ไม่ปรากฏตัวอย่างเช่น สมมติ ตัวแปรสุ่ม X มีโอกาสมีค่าเป็น 1, −2, 3, −4, ..., ด้วยความน่าจะเป็น c/1², c/2², c/3², c/4², ..., โดย c = π²/6 (ค่าของ c นี้มีแค่เพื่อทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมเป็น 1)ค่าของอนุกรมจะเป็น

∑ i = 1 ∞ x i p i = c ( 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + … ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=c\,{\bigg (}1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots {\bigg )}}

ซึ่งลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่า ln(2) ≈ 0.69315แต่อนุกรมนี้ไม่ได้เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ ดังนี้ค่าคาดหมายของ X ในกรณีนี้จึงไม่มี

ตัวแปรต่อเนื่อง

เมื่อตัวแปรสุ่ม X มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f(x) ค่าคาดหมายของ X สามารถคำนวณได้จาก

E ⁡ [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d ⁡ x . {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\operatorname {d} x.}