เมนูนำทาง
จานแอรี
ความเข้มของการเลี้ยวเบนเฟราน์โฮเฟอร์ที่เกิดจากรูรับแสงวงกลมคำนวณได้โดย
I ( θ ) = I 0 ( 2 J 1 ( k a sin θ ) k a sin θ ) 2 = I 0 ( 2 J 1 ( x ) x ) 2 {\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2}=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right)^{2}}ในที่นี้ I 0 {\displaystyle I_{0}} คือความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน J 1 {\displaystyle J_{1}} เป็น ฟังก์ชันเบ็สเซิลประเภทที่หนึ่ง k = 2 π / λ {\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }} คือเลขคลื่น a {\displaystyle a} คือรัศมีของรูรับแสงวงกลม θ {\displaystyle \theta } คือมุมที่พิจารณา (มุมที่เส้นที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลมกับจุดบนระนาบ ทำกับแกนเชิงแสง) และ
x = k a sin θ = 2 π a λ q R = π q λ N {\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}}={\frac {\pi q}{\lambda N}}}โดยที่ q {\displaystyle q} คือระยะห่างของระนาบที่สังเกตการณ์ (หรือระนาบโฟกัส) จากแกนลำแสง และ N = R / d {\displaystyle N=R/d} คือ ค่าเอฟของระบบเชิงแสง (โดย d = 2 a {\displaystyle d=2a} คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูรับแสงวงกลม และ R {\displaystyle R} คือระยะห่างระหว่างรูรับแสงวงกลมกับระนาบการสังเกต) การวางเลนส์ประกบหลังรูรับแสงวงกลมจะสร้างแบบรูปแอรีบนระนาบโฟกัสของเลนส์ โดยที่ R = f {\displaystyle R=f} (โดยที่ f {\displaystyle f} คือความยาวโฟกัสของเลนส์) ขีดจำกัดของ θ → 0 {\displaystyle \theta \rightarrow 0} (หรือ x → 0 {\displaystyle x\rightarrow 0} ) คือ I ( 0 ) = I 0 {\displaystyle I(0)=I_{0}}
J 1 ( x ) {\displaystyle J_{1}(x)} จะมีค่าเป็น 0 เมื่อ x = k a sin θ ≈ 0 , 3.8317 , 7.0156 , 10.1735 , 13.3268 , 16.4706... {\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 0,3.8317,7.0156,10.1735,13.3268,16.4706...} วงแหวนมืดวงแรกของแบบรูปการเลี้ยวเบนแสดงด้วยสมการต่อไปนี้
sin θ = 3.83 k a = 3.83 λ 2 π a = 1.22 λ 2 a = 1.22 λ d {\displaystyle \sin \theta ={\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}} .ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีของวงแหวนมืดดวงแรกบนระนาบ q 1 {\displaystyle q_{1}} และมุม θ {\displaystyle \theta } คือ
q 1 = R sin θ {\displaystyle q_{1}=R\sin \theta }โดยที่ R {\displaystyle R} คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ระยะห่างจากจุดกึ่งกลาง x {\displaystyle x} ที่ความเข้มแสงของจานแอรีเหลือครึ่งนึง (คือที่ J 1 ( x ) = 1 / 2 {\displaystyle J_{1}(x)=1/2} ) คือ x = 1.61633... {\displaystyle x=1.61633...} ส่วนที่ความเข้มเหลือเป็น 1/e2 ( J 1 ( x ) = 1 / e 2 {\displaystyle J_{1}(x)=1/e^{2}} ) คือ x = 2.58383... {\displaystyle x=2.58383...} ส่วนที่สว่างที่สุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือ x = 5.13562... {\displaystyle x=5.13562...}
ความสัมพันธ์ของความเข้มของแสงที่จุดกึ่งกลางของแบบรูปการเลี้ยวเบน I 0 {\displaystyle I_{0}} กับความเข้มของแสงที่ผ่านรูรับแสงวงกลม P 0 {\displaystyle P_{0}} แสดงโดยสูตรต่อไปนี้[3]
I 0 = E A 2 A 2 2 R 2 = P 0 A λ 2 R 2 {\displaystyle I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}}ในที่นี้ E {\displaystyle \mathrm {E} } คือความเข้มของแสงต่อหน่วยพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม A คือพื้นที่ของรูรับแสงวงกลม ( A = π a 2 {\displaystyle A=\pi a^{2}} ) R คือระยะห่างจากรูรับแสงวงกลม ความเข้มแสงบนระนาบโฟกัสของเลนส์เป็น I 0 = ( P 0 A ) / ( λ 2 f 2 ) {\displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})} ความเข้มสูงสุดของวงแหวนสว่างวงแรกคือประมาณ 1.75% ของค่าที่ตรงกลางของจานแอรี
ความเข้มแสงรวมทั้งหมดภายในวงที่อยู่ในบริเวณในมุม θ {\displaystyle \theta } ที่กำหนดคำนวณได้เป็น
P ( θ ) = P 0 [ 1 − J 0 2 ( k a sin θ ) − J 1 2 ( k a sin θ ) ] {\displaystyle P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]}ซึ่งจะได้ว่าความเข้มแสงภายในวงแหวนมืดที่ 1, วงแหวนมืดที่ 2, วงแหวนมืดที่ 3 (ที่ซึ่ง J 1 ( k a sin θ ) = 0 {\displaystyle J_{1}(ka\sin \theta )=0} ) เป็น 83.8%, 91.0% และ 93.8% ตามลำดับ[4]
เมนูนำทาง
จานแอรีใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: จานแอรี