ยังไม่มีใครรู้ว่าจำนวนสมบูรณ์คี่นั้นมีอยู่จริงหรือไม่ เมื่อไม่นานมานี้ Carl Pomerance และ Joshua Zelinsky ได้แสดงฮิวริสติกว่าไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่จริง

สมมติว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่ N อยู่จริงแล้ว มันจะต้องมีคุณสมบัติต่อไปนี้

• N จะอยู่ในรูป

N = q α p 1 2 e 1 … p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},} เมื่อ q, p1, …, pk คือ จำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน และ q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (ออยเลอร์)

• N จะมากกว่า 10300
• N จะอยู่ในรูป 4j + 1 (A. Stern, 1896)
• N จะมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย 8 ตัว (และอย่างน้อย 11 ตัว ถ้ามันหาร 3 ไม่ลงตัว) (Peter Hagis)
• N จะมีตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดอย่างน้อย 75 ตัว, รวมที่นับซ้ำด้วย (Kevin Hare, 2005)
• N จะมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 1 ตัวที่มากกว่า 107, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 2 ตัวที่มากกว่า 104, ตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย 3 ตัวที่มากกว่า 100
• N จะน้อยกว่า 2 4 n {\displaystyle 2^{4^{n}}} เมื่อ n=k+1 คือ จำนวนตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกัน
• N จะอยู่ในรูป 12j + 1 หริอ 36j + 9 (Jacques Touchard) (วิธีพิสูจน์พื้นฐานถูกค้นพบโดย Judy A. Holdener)