ถึงแม้ว่าผลลัพธ์ที่ดีกว่าจะสามารถเป็นไปได้ ถ้าหากให้สมมติฐานของรีมันน์เป็นจริง Harald Cramér ได้พิสูจน์แล้วว่า ช่องว่างจำนวนเฉพาะ g(p)

g ( p ) = O ( p ln ⁡ p ) {\displaystyle g(p)=O({\sqrt {p}}\ln p)}

ตรงตามเงื่อนไขภายใต้สมมติฐานนี้ อย่างไรก็ตาม เขาได้คาดการณ์ว่าอาจจะมีช่องว่างที่มีขนาดเล็กกว่านี้อีก โดยคาดการณ์อย่างหยาบๆ ว่า

g ( p ) = O ( ( ln ⁡ p ) 2 ) {\displaystyle g(p)=O\left((\ln p)^{2}\right)}

และปัจจุบันดูเหมือนว่าแนวโน้มของตัวเลขจะเข้าสู่แนวทางนี้ ดูเพิ่มที่ ข้อความคาดการณ์ของเครเมอร์

ข้อความคาดการณ์ของแอนดริกาได้ระบุว่า

g ( p ) < 2 p + 1 {\displaystyle g(p)<2{\sqrt {p}}+1}