การนิเสธ

ฟังก์ชันประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณก็นับเป็นประโยค ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ ¬ {\displaystyle \neg }

ตัวอย่างเช่น ถ้า P(x) เป็นฟังก์ชันประพจน์ว่า "0 < x < 1" แล้ว ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็น x คือจำนวนธรรมชาติใดๆ ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว "มี x บางตัวซึ่งมากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" จะเขียนได้ในรูป :

∃ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

ประโยคนี้อาจะเป็นเท็จได้ เพราะจริงๆ ควรใช้ว่า "ไม่มีจำนวนธรรมชาติใดๆ ที่มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1" จะเขียนได้ในรูป :

¬   ∃ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

ไม่มีสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ใดๆ ซึ่งจะทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริงได้ ดังนั้น สมาชิกทุกตัวจะขัดกับเงื่อนไข ซึ่งก็คือนิเสธ

∃ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

สมมูลกับ "สำหรับจำนวนธรรมชาติ x ใดๆ ซึ่ง x ไม่ได้มากกว่า 0 หรือน้อยกว่า 1"

∀ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

โดยปกติแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวคือตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด หรือนิยามได้ว่า :

¬   ∃ x ∈ X P ( x ) ≡   ∀ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

เช่น กำหนดให้ว่า "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") คือ "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") จะหมายความว่า

¬   ∃ x ∈ X P ( x ) ≡   ∀ x ∈ X ¬ P ( x ) ≢   ¬   ∀ x ∈ X P ( x ) ≡   ∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}

นิเสธของตัวบ่งปริมาณบางตัวยังรวมถึง "ไม่มีเลย" :

∄ x ∈ X P ( x ) ≡ ¬   ∃ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

ซึ่งไม่เหมือนกับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด ตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวจะกระจายหากเป็นการเลือกเชิงตรรกศาสตร์ได้

∃ x ∈ X P ( x ) ∨ Q ( x ) →   ( ∃ x ∈ X P ( x ) ∨ ∃ x ∈ X Q ( x ) ) {\displaystyle {\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))}}

กฎอุดมคติ

กฎอุดมคติเป็นกฎซึ่งใช้พิสูจน์ขั้นตอนจากสมมุติฐานสู่การสรุปออกมา มีกฎอุดมคติอยู่หลายกฎ ซึ่งนำไปใช้กับตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว

ปริทัศน์ของตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (∃I) กล่าวไว้ว่าถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น จะต้องมีสมาชิกของฟังก์ชันของประพจน์ที่เป็นจริง หรือเขียนได้ในรูป :

P ( a ) →   ∃ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle P(a)\to \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}

การตัดทิ้งแบบตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (∃E) กล่าวไว้ว่า เมื่อดำเนินการหักล้างแบบฟิตช์ โดยการเติมนิพจน์ที่ได้จากการหักล้างย่อยเข้าไป โดยการเติมตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (ที่ติดตัวแปร) เข้าไปช่วย ซึ่งตัวบ่งปริมาณนี้ไม่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการใดๆ ของนิพจน์ที่นำมาเติม ถ้าผลได้ภายในการดำเนินการของตัวนิพจน์จากการหักล้างย่อยซึ่งไม่มีตัวบ่งปริมาณแบบบบางตัวนั้น ดังนั้นจะมีสมาชิกหนึ่งตัวซึ่งสามารถหักล้างตัวใดตัวหนึ่งของนิพจน์ที่ได้จากการหักล้างย่อยนั้น โดยเหตุผลของการตัดทิ้งแบบตัวบ่งปริมาณแบบางตัวคือ :

ถ้ากำหนดว่ามีสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งที่ทำให้ฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆ เป็นจริง ถ้าผลใช้แทนกับการกำหนดชื่อเจาะจง (Arbitary Name) ได้ ผลนั้นจะเป็นจริงอย่างแน่นอน ตราบใดที่มันยังไม่มีชื่อ

เขียนได้ โดย :

ให้ชื่อเจาะจงเป็น c แล้ว Q เป็นประพจน์ซึ่งไม่มี c

∃ x ∈ X P ( x ) →   ( ( P ( c ) →   Q ) →   Q ) {\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\to \ ((P(c)\to \ Q)\to \ Q)}

ค่า c จะต้องเป็นจริงทุกตัวบนโดเมนเดียวกันกับ X หรือหากประพจน์ไม่เป็นไปตามตรรกะ จะได้ว่า :

หาก c ไม่ใช่ชื่อเจาะจง แล้วเป็นเพียงสมาชิกเฉพาะ (Specific Element) ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้ว P(c) จะไม่สามารถให้เหตุผลแก่ประโยคนั้นๆ ได้อีก

เซตว่าง

รูปแบบ ∃ x ∈ ∅ P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }\emptyset \,P(x)} จะเป็นเท็จเสมอ หากไม่ขึ้นกับ P(x) เนื่องจากเซตว่างจะไม่มีค่าอะไรกับ x

ให้ x โดด ๆ แสดงกับเงื่อนไข P(x) = "มี x ใดๆ ในเซตว่าง" : ดูเพิ่มที่ค่าความจริงว่าง