คุณสมบัติ ของ ตัวหารร่วมมาก

ตัวหารร่วมของ a และ b จะเป็นตัวหารของ gcd (a, b)

gcd (a, b) เมื่อ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จะเป็นจำนวนเต็มบวก d ที่น้อยที่สุดที่สามารถเขียนในรูป d = a·p + b·q เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเต็ม จำนวน p และ q สามารถคำนวณได้จากขั้นตอนวิธีของยุคลิดเพิ่มเติม

ถ้า a หาร b·c ลงตัว และ gcd (a, b) = d แล้ว a/d หาร c ลงตัว

ถ้า m เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว gcd (m·a, m·b) = m·gcd (a, b) และ gcd (a + m·b, b) = gcd (a, b) ถ้า m เป็นตัวหารร่วมของ a และ b แล้ว gcd (a/m, b/m) = gcd (a, b) /m

ห.ร.ม.เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ กล่าวคือ ถ้า a1 และ a2 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์แล้ว gcd (a1·a2, b) = gcd (a1, b) ·gcd (a2, b)

ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c)) นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

gcd (a, b) นั้นมีความเกี่ยวข้องกับตัวคูณร่วมน้อย lcm (a, b) : จะได้ว่า

gcd (a, b) ·lcm (a, b) = a·b.

สูตรนี้มักถูกใช้เพื่อคำนวณค่าคูณร่วมน้อย โดยเริ่มด้วยการหา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด จากนั้นหารผลคูณของตัวเลขทั้งสองด้วย ห.ร.ม. คุณสมบัติการกระจายด้านล่างนี้เป็นจริง:

gcd (a, lcm (b, c)) = lcm (gcd (a, b) , gcd (a, c))lcm (a, gcd (b, c)) = gcd (lcm (a, b) , lcm (a, c)).

การนิยามให้ gcd (0, 0) = 0 และ lcm (0, 0) = 0 นั้นมีประโยชน์เนื่องจากจะทำให้เซตของจำนวนธรรมชาติเป็นแลตทิซแบบกระจายที่บริบูรณ์ โดยที่ ห.ร.ม. เป็นการดำเนินการ meet และ ค.ร.น. เป็นการดำเนินการ join การขยายนิยามนี้สอดคล้องกับนัยทั่วไปของนิยามสำหรับริงสลับที่ด้านล่าง

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน gcd (a, b) สามารถตีความว่าเป็นจำนวนของจุดที่มีพิกัดเป็นจำนวนเต็มบนเส้นตรงที่เชื่อมจุด (0, 0) และจุด (a, b) โดยที่ไม่นับจุด (0, 0)