พลเอก บรรจบ บุนนาค เป็นบุตรมหาเสวกโท พระยาศรีธรรมศกราช (ปิ๋ว บุนนาค) และ คุณหญิง เจียน (สกุลเดิม อัตจุตพันธ์) เกิด 10 ธันวาคม พ.ศ. 2468 พลเอกบรรจบ บุนนาค สมรสกับคุณหญิงอรนุช ธิดาพระยามานิตย์กุลพัทธ์ (มานิตย์ มานิตยกูล) มีบุตรชาย 2 คน ได้แก่ พันตรีเอก และ บรรสาน บุนนาค ดำรงตำแหน่ง รองเลขาธิการนายกรัฐมนตรีฝ่ายการเมือง ในรัฐบาล พลเอก ประยุทธ์ จันทร์โอชา