ผลคูณของจำนวนจริงบวก

∏ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}

จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม

∑ n = 1 ∞ log ⁡ ( a n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}

ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี an เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้

สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ a n ≥ 1 {\displaystyle a_{n}\geq 1} หรือเขียนเป็น a n = 1 + p n ,   p n ≥ 0 {\displaystyle a_{n}=1+p_{n},\ p_{n}\geq 0} จะได้อสมการ

1 + ∑ n = 1 N p n ≤ ∏ n = 1 N ( 1 + p n ) ≤ exp ⁡ ( ∑ n = 1 N p n ) {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}(1+p_{n})\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}

ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ pn ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า p n → 0 {\displaystyle p_{n}\to 0} แล้ว

lim n → ∞ log ⁡ ( 1 + p n ) p n = lim x → 0 log ⁡ ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1}

ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ

∑ n = 1 ∞ log ⁡ ( 1 + p n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})} และ ∑ n = 1 ∞ p n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}

เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ

บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก a n = 1 − q n ,   0 ≤ q n < 1 {\displaystyle a_{n}=1-q_{n},\ 0\leq q_{n}<1} แล้ว ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q_{n})} ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม ∑ n = 1 ∞ q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q_{n}} ลู่เข้า

หากอนุกรม ∑ n = 1 ∞ log ⁡ ( a n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})} ลู่ออกไปสู่ − ∞ {\displaystyle -\infty } แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ an จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่าลู่ออกไปสู่ศูนย์ [1]

สำหรับ p n   {\displaystyle p_{n}\ } ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ ∑ n = 1 ∞ p n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}} ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ ∏ n = 1 ∞ ( 1 + p n ) {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})} ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก ∑ n = 1 ∞ | p n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|} ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม(ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์)กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน[2] คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก ∑ n = 1 ∞ | p n | 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}} ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน[3]