รูปผลคูณของฟังก์ชัน ของ ผลคูณอนันต์

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) f(z) ทุกฟังก์ชัน(นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า f มีรากอันดับ m ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ u1, u2, u3, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว

f ( z ) = z m e ϕ ( z ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z u n ) exp ⁡ { z u n + 1 2 ( z u n ) 2 + . . . + 1 λ n ( z u n ) λ n } {\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\{{\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+...+{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\}}

เมื่อ λn เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ φ(z) เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ λn อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด p ที่เมื่อ 'λ' n = p แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) p นี้เรียกว่าอันดับ (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ p = 0 จะได้เป็น

f ( z ) = z m e ϕ ( z ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z u n ) {\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)}

ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ φ (z) เป็นค่าคงที่

นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น:

ขั้วอย่างง่าย (simple pole) c c − z = ∏ n = 1 ∞ e 1 n ( z c ) n {\displaystyle {\frac {c}{c-z}}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}}
1 1 − z = ∏ n = 0 ∞ ( 1 + z 2 n ) {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)}
ฟังก์ชัน sinc sinc ( π z ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle {\textrm {sinc}}(\pi z)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)} มาจากออยเลอร์ มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z n = z ∏ n = 1 ∞ 1 + z n ( 1 + 1 n ) z {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}}
ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส σ ( z ) = z ∏ ω ∈ Λ ∗ ( 1 − z ω ) e z 2 2 ω 2 + z ω {\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}} Λ ∗ {\displaystyle \Lambda _{*}} หมายถึงแลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด
เครื่องหมาย q-Pochhammer ( z ; q ) ∞ = ∏ n = 0 ∞ ( 1 − z q n ) {\displaystyle (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})} ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน f ( a , b ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( n + 1 ) 2 b n ( n − 1 ) 2 = ∏ n = 0 ∞ ( 1 + a n + 1 b n ) ( 1 + a n b n + 1 ) ( 1 − a n + 1 b n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}} แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ζ ( z ) = ∏ n = 1 ∞ 1 1 − p n − z {\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}} pn หมายถึงลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์

โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ζ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ζ (z) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (z) > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ζ (z)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด z = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย