กำหนดให้ทั้ง ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} และ ∑ n = 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}} เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งทำให้อนุกรม

∑ n = 0 ∞ c n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}} โดยที่ c n = ∑ k = 0 n a k b n − k = ∑ i + j = n a i b j {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}

ลู่เข้าสัมบูรณ์ด้วยเช่นกัน และเกิดความสัมพันธ์ดังนี้

( ∑ n = 0 ∞ a n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n ) = ∑ n = 0 ∞ c n . {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}.}

เราเรียกอนุกรม ∑ n = 0 ∞ c n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}} นี้ว่า ผลคูณโคชีของอนุกรม ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} และ ∑ n = 0 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}

สูตรดังกล่าวสามารถแจกแจงได้ดังนี้

( ∑ n = 0 ∞ a n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n ) = ( a 0 b 0 ) ⏟ c 0 + ( a 0 b 1 + a 1 b 0 ) ⏟ c 1 + ( a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ) ⏟ c 2 + . . . + ( a 0 b n + a 1 b n − 1 + . . . + a k b n − k + . . . + a n b 0 ) ⏟ c n + . . . {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\underbrace {(a_{0}b_{0})} _{c_{0}}+\underbrace {(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})} _{c_{1}}+\underbrace {(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})} _{c_{2}}+...+\underbrace {(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+...+a_{k}b_{n-k}+...+a_{n}b_{0})} _{c_{n}}+...}

เมื่อแทนค่า n {\displaystyle n} แล้ว เราจะได้ค่าใกล้เคียงของผลคูณที่ต้องการหาค่า

อนุกรมยกกำลัง

นอกจากอนุกรมอนันต์แล้ว ผลคูณโคชียังสามารถนำมาใช้กับอนุกรมยกกำลังได้[2][3] ดังนี้

กำหนดอนุกรมยกกำลังสองอนุกรม ∑ i = 0 ∞ a i x i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}} และ ∑ j = 0 ∞ b j x j {\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}}

โดยที่ { a i } {\displaystyle \{a_{i}\}} และ { b j } {\displaystyle \{b_{j}\}} คือสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน ผลคูณโคชีของอนุกรมยกกำลังสองอนุกรมนี้นิยามได้ว่า

( ∑ i = 0 ∞ a i x i ) ⋅ ( ∑ j = 0 ∞ b j x j ) = ∑ k = 0 ∞ c k x k {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}} โดยที่ c k = ∑ l = 0 k a l b k − l {\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}