สัญกรณ์พิกัด

กำหนดให้ i, j, k เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้

i × j = k j × k = i k × i = j {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mathbf {i} \times \mathbf {j} &=&\mathbf {k} \\\mathbf {j} \times \mathbf {k} &=&\mathbf {i} \\\mathbf {k} \times \mathbf {i} &=&\mathbf {j} \\\end{array}}}

โดยเวกเตอร์ a และ b สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ i, j, k ได้ดังนี้

a = a 1 i + a 2 j + a 3 k = ( a 1 , a 2 , a 3 ) b = b 1 i + b 2 j + b 3 k = ( b 1 , b 2 , b 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} =(a_{1},a_{2},a_{3})\\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} =(b_{1},b_{2},b_{3})\\\end{aligned}}}

ผลคูณไขว้ a × b สามารถคำนวณได้จากสูตรนี้ โดยไม่ต้องพิจารณาขนาดของมุม

a × b = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ,   a 3 b 1 − a 1 b 3 ,   a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\ a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}

สัญกรณ์เมทริกซ์

สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังนี้

a × b = | i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = i ( a 2 b 3 ) + j ( a 3 b 1 ) + k ( a 1 b 2 ) − i ( a 3 b 2 ) − j ( a 1 b 3 ) − k ( a 2 b 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\mathbf {i} (a_{2}b_{3})+\mathbf {j} (a_{3}b_{1})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2})-\mathbf {i} (a_{3}b_{2})-\mathbf {j} (a_{1}b_{3})-\mathbf {k} (a_{2}b_{1})}