สมการชเรอดิงเงอร์และฟังก์ชันของศักย์

Scattering at a finite potential step of height V0, shown in green. The amplitudes and direction of left and right moving waves are indicated. Yellow is the incident wave, blue are reflected and transmitted, red does not occur. E > V0 for this figure.

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับฟังก์ชันคลื่น  คือ

H ψ ( x ) = [ − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 + V ( x ) ] ψ ( x ) = E ψ ( x ) , {\displaystyle H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}

โดยที่

H คือ ฮามิลโทเนียน

ħ คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า

m คือ มวล

E คือ พลังงานของอนุภาค

ศักย์แบบขั้นบันได มีสมการเป็น

V ( x ) = { 0 , x < 0 V 0 , x ≥ 0 {\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}

โดยสิ่งกีดขวางจะอยู่ที่ตำแหน่ง x = 0 ศักย์แบบขั้นบันได จะแบ่งพื้นที่เป็น 2 ส่วน คือ x < 0 และ x > 0 ซึ่งทั้ง 2 ส่วนนี้จะมีศักย์เป็นค่าคงที่

การแก้ปัญหาสมการชเรอดิงเงอร์สามารถเขียนเป็นการซ้อนทับ (Superposition) ของคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและทางขวา โดยที่

k 1 = 2 m E / ℏ 2 {\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}} , k 2 = 2 m ( E − V 0 ) / ℏ 2 {\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}

ซึ่งทั้ง 2 สมการมีรูปแบบเดียวกับความสัมพันธ์ของเดอบรอย์

p = ℏ k {\displaystyle p=\hbar k}

เงื่อนไขขอบเขต

ฟังก์ชันคลื่นในทั้งสองบริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ที่บริเวณรอยต่อ x = 0 ดังสมการ

ψ 1 ( 0 ) = ψ 2 ( 0 ) {\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0)} , d d x ψ 1 ( 0 ) = d d x ψ 2 ( 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{1}(0)={\frac {d}{dx}}\psi _{2}(0)}