ตัวอย่าง ของ พีชคณิตซิกมา

  1. กำหนด X {\displaystyle X} เป็นเซตใด ๆ. เราจะได้ว่า { X , ∅ } {\displaystyle \{X,\varnothing \}} เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน X {\displaystyle X} , และ 2 X {\displaystyle 2^{X}} เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน X {\displaystyle X}
  2. กำหนด { Σ α } {\displaystyle \{\Sigma _{\alpha }\}} ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน X {\displaystyle X} เราจะได้ว่า ⋂ α Σ α {\displaystyle \bigcap _{\alpha }\Sigma _{\alpha }} เป็นพีชคณิตซิกมาบน X {\displaystyle X} ด้วย
  3. (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ { Σ α } {\displaystyle \{\Sigma _{\alpha }\}} ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน X {\displaystyle X} ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก ⋂ α Σ α {\displaystyle \bigcap _{\alpha }\Sigma _{\alpha }} ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด. สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก). เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่าพีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด.
  4. ในปริภูมิยุคลิด R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในเมเชอร์ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต. สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก. โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว.