นิยาม ของ พีชคณิตแบบบูล

พีชคณิตแบบบูล คือ เซต A ที่ประกอบด้วยการดำเนินการทวิภาค คือ ∧ {\displaystyle \land } (AND) กับ ∨ {\displaystyle \lor } (OR) , การดำเนินการเอกภาค คือ ¬ {\displaystyle \lnot } / ~ (NOT) และสมาชิกคือ 0 (FALSE) กับ 1 (TRUE)ซึ่งสำหรับสมาชิก a, b และ c ของเซต A จะมีคุณสมบัติเป็นไปตามสัจพจน์เหล่านี้

สมบัติของ ∨ {\displaystyle \lor } สมบัติของ ∧ {\displaystyle \land } ชื่อเรียก
a ∨ ( b ∨ c ) = ( a ∨ b ) ∨ c {\displaystyle a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c} a ∧ ( b ∧ c ) = ( a ∧ b ) ∧ c {\displaystyle a\land (b\land c)=(a\land b)\land c} การเปลี่ยนหมู่
a ∨ b = b ∨ a {\displaystyle a\lor b=b\lor a} a ∧ b = b ∧ a {\displaystyle a\land b=b\land a} การสลับที่
a ∨ ( a ∧ b ) = a {\displaystyle a\lor (a\land b)=a} a ∧ ( a ∨ b ) = a {\displaystyle a\land (a\lor b)=a} absorption
a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ ( a ∨ c ) {\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)} a ∧ ( b ∨ c ) = ( a ∧ b ) ∨ ( a ∧ c ) {\displaystyle a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)} การแจกแจง
a ∨ ¬ a = 1 {\displaystyle a\lor \lnot a=1} a ∧ ¬ a = 0 {\displaystyle a\land \lnot a=0} ส่วนเติมเต็ม

สำหรับสมาชิก a และ b ใน A มันจะมีเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้

สมบัติของ ∨ {\displaystyle \lor } สมบัติของ ∧ {\displaystyle \land } ชื่อเรียก
a ∨ a = a {\displaystyle a\lor a=a} a ∧ a = a {\displaystyle a\land a=a} นิจพล (idempotency)
a ∨ 0 = a {\displaystyle a\lor 0=a} a ∧ 1 = a {\displaystyle a\land 1=a} มีขอบเขต (boundedness)
a ∨ 1 = 1 {\displaystyle a\lor 1=1} a ∧ 0 = 0 {\displaystyle a\land 0=0}
¬ 0 = 1 {\displaystyle \lnot 0=1} ¬ 1 = 0 {\displaystyle \lnot 1=0} 0 และ 1 เป็นส่วนเติมเต็มกัน
¬ ( a ∨ b ) = ¬ a ∧ ¬ b {\displaystyle \lnot (a\lor b)=\lnot a\land \lnot b} ¬ ( a ∧ b ) = ¬ a ∨ ¬ b {\displaystyle \lnot (a\land b)=\lnot a\lor \lnot b} กฎเดอมอร์แกน (de Morgan's laws)
¬ ¬ a = a {\displaystyle \lnot \lnot a=a} อวัตนาการ (involution)