คุณสมบัติ ของ ฟังก์ชันแกมมา

คุณสมบัติทั่วไป

สมการเชิงฟังก์ชันอื่นสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่สำคัญคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!}

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)\,\!}

ซึ่งสูตรการทำซ้ำเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของทฤษฎีบทการคูณ (multiplication theorem) ที่ว่า

Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) ( m − 1 ) / 2 m 1 / 2 − m z Γ ( m z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz)\,\!}

อนึ่ง ค่าของฟังก์ชันแกมมา ซึ่งตัวแปรต้นไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ

Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\,\!}

สามารถหาได้จากการแทนค่า z = 1/2 ลงในสูตรการสะท้อนด้านบน หรือจากฟังก์ชันบีตาโดยผ่านค่า (1/2, 1/2) ลงไป ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ π โดยทั่วไปแล้ว หากเราให้ n เป็นจำนวนคี่ เราจะได้คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งคือ

Γ ( n 2 + 1 ) = π n ! ! 2 ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}

เมื่อ n!! หมายถึงดับเบิลแฟกทอเรียล

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมา สามารถอธิบายได้ในนิพจน์ของฟังก์ชันโพลีแกมมา ดังตัวอย่าง

Γ ′ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) {\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z)\,\!}

ฟังก์ชันแกมมามีโพล (pole) อันดับ 1 อยู่ที่ z = −n สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ และส่วนตกค้าง (residue) มีค่าเท่ากับ

Res ⁡ ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\,\!}

ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ในบรรดาฟังก์ชันทั้งหมดที่ขยายมาจากฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนจริงบวก มีเพียงฟังก์ชันแกมมาเท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์แบบลอการิทึม (logarithmically convex function) ซึ่งหมายความว่า ลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์ (convex function)

ฟังก์ชันพาย

สัญกรณ์อีกรูปแบบหนึ่งซึ่งนำเสนอโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คือ ฟังก์ชันพาย (Pi function, P ตัวใหญ่) ใช้อธิบายนิพจน์ของฟังก์ชันแกมมาว่า

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)\,\!}

ดังนั้น

Π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n)=n!\,\!}

โดยการใช้ฟังก์ชันพาย เราจึงสามารถเขียนสูตรการสะท้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!}

เมื่อ "sinc" หมายถึงฟังก์ชันไซน์คาร์ดินัลแบบบรรทัดฐาน (normalized sinc function) ในขณะที่ทฤษฎีบทการคูณก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันพายได้เช่นกัน

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( ( 2 π ) m 2 π m ) 1 / 2 m − z Π ( z ) {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z)\,\!}

เรายังสามารถหาค่าของ

π ( z ) = 1 Π ( z ) {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\,\!}

ซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) นิยามบนทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน และเนื่องจาก π (z) เป็นฟังก์ชันทั่ว นั่นคือฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีโพล ดังนั้นผลลัพธ์ของ Γ (z) จึงไม่มีทางเป็นศูนย์

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น

ในตัวนิยามของฟังก์ชันแกมมาที่เป็นปริพันธ์ (สูตรแรกสุด) ขอบเขตของการหาปริพันธ์ได้ถูกกำหนดตายตัวไว้ ดังนั้นจึงมีการสร้างฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ (incomplete Gamma function) ในรูปแบบ Γ (a, x) ขึ้นมาเพื่อให้สามารถหาปริพันธ์ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของค่า x ใดๆ ก็ได้ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง ∞
ฟังก์ชันแกมมามีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันบีตาด้วยสูตรนี้

B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\,\!}

อนุพันธ์ลอการิทึม (logarithmic derivative) ของฟังก์ชันแกมมาเรียกว่า ฟังก์ชันไดแกมมา (digamma function) และในอนุพันธ์ในอันดับสูงกว่าจะเรียกว่า ฟังก์ชันโพลีแกมมา (polygamma function)
แอนะล็อกของฟังก์ชันแกมมาเหนือฟีลด์จำกัด (finite field) หรือริงจำกัด (finite ring) คือผลบวกเกาส์เซียน (Gaussian sum) ซึ่งเป็นผลบวกเลขชี้กำลัง (exponential sum) ชนิดหนึ่ง
ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ (reciprocal Gamma function) เป็นฟังก์ชันทั่วชนิดหนึ่งและเป็นหัวข้อที่ต้องศึกษาโดยเฉพาะ
ฟังก์ชันแกมมายังมีความสัมพันธ์ที่สำคัญกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) ซึ่งใช้สัญกรณ์ ζ (z) ดังนี้

π − z / 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) {\displaystyle \pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z)\,\!}

และในอีกสูตรหนึ่งที่ดูเรียบง่ายคือ

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z − 1 e u − 1 d u {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!}